Salut,
kadaid a écrit:Etant donné un système de n équations congruence à une inconnue:
Ai*x=Bi[Ni]
Avant la résolution, que faut-il vérifier ?
Si pour i donné pgcd(Ai,Ni) divise Bi
Si pour i donné Ai est inversible modulo Ni
Déjà, je suppose que ce que tu veut dire, c'est pas "
pour i donné", mais "
pour tout i" (si tu regarde qu'un seul i parmi toutes tes équations, ben c'est sûr que ça risque pas d'être suffisant !!!)
Ensuite,
- Ta première condition, elle est évidement nécessaire vu que si tu as

et que

divise

et

il doit bien évidement diviser

.
- Par contre ta deuxième condition n'est pas du tout nécessaire. Par exemple l'équation

admet évidement des solutions (par exemple

) alors que 2 n'est pas inversible modulo 8.
Par contre le truc qui est vrai, c'est que, vu la première condition, si
)
est différent de 1, il doit forcément diviser

sinon il n'y a pas de solutions.
Et s'il divise effectivement

alors on a évidement

où maintenant

et

sont premiers entre eux donc

est inversible modulo

.
Bref, on peut
se ramener au cas où

est inversible modulo

, mais ce n'est pas forcément vrai au départ.
- Il manque
on ne peut plus clairement des conditions pour garantir que ton système ait des solutions : là tu ne regarde que les équations que
une par une et ça ne risque pas de suffire. Par exemple il est évident les deux équations

et

ont toute les deux des solution et il est tout aussi évident que le système formé des deux équations n'en a pas.
Enfin et pour terminer, un fois que, pour chaque équation tu as calculé
)
, vérifié qu'il divise bien

puis divisé

,

et

par

alors le "nouveau"

est premier avec le "nouveau"

donc inversible modulo

et tu connaît même déjà son inverse vu que pour calculer
)
tu as forcément appliqué l'algo. d'Euclide qui justement te donne cet inverse. Donc tu n'a aucun problème pour récrire ton équation sous la forme

et donc pour te retrouver
très exactement dans le cas de figure "classique" du théorème des restes chinois
(et c'est bien sûr du fait que toute équation de congruence du premier degré se ramène on ne peut plus facilement à du
que le théorème des restes chinois n'est énoncé que dans ce cadre là)