DM sur un polynôme de degré 5

[johnny321]

Bonsoir,

j'ai T(x) = 16x^5 -20^3+5x

je dois montrer que T(cos x) = cos(5x)

j'ai d'abord essayé de montrer avec les formules cos(4x + x) mais ça ne m'a rien apporté. J'ai essayé de remplacé x par pi/5 sachant qu'après ils demandent de déduire cos(pi/5) = racine de a (a une racine ).

qqun pourrait m'aider? je suis en TS

j'ai fait 16(cos(x)+isin(x))^5-20(cos(x)+isin(x))^3-5(cos(x)+isin(x))

c'est bon?

[chan79]

salut
c'est 16x^5 -20 x^3+5x

Calcule de deux façons

[johnny321]

oui j'ai utilisé les complexes mais je ne pense pas avoir trouvé la bonne solution, quand je développe a^5+5a^4b+10a^3b²+10a²b^3+5ab^4+b5 je ne sais pas si dois garder les "i" du sinus?

[danyL]

ceci peut t'aider
un exemple de calcul pour cos(7x) et cos(3x)
http://ressources.unisciel.fr/iel/exo_c ... ivre1.html

[johnny321]

Merci, je prends la partie réelle du résultat et je convertis tout en cosinus?

[capitaine nuggets]

Salut !

Montre que .
Pour cela, utilise le fait que .
Tu n'as qu'une formule pour : , et deux pour : ou . A toi de voir laquelle pourrait servir étant donné ce qu'on veut obtenir à la fin. Je te laisse continuer.

[johnny321]

Merci, j'ai réussi à trouver la solution, je dois maintenant déduire que cos(pi/5) = racine(a) avec a (3+racine(5))/8. Je pensais faire T(cos pi/5) et je devrais trouver racine (a) non?

[chan79]

salut
Tu peux exprimer aussi sin(5x) en fonction de sin(x) puis remplacer x par pi/5.
Tu auras sin(pi/5) et tu en déduiras cos(pi/5).
Ce ne sont pas les méthodes qui manquent.

[Black Jack]

cos(5x) = cos(3x+2x) = cos(2x).cos(3x) - sin(2x).sin(3x)

= (2cos²(x)-1).(4cos³(x) - 3.cos(x)) - 2.sin(x).cos(x).(3sin(x) - 4sin³(x))

= 8cos^5(x) - 6cos³(x) - 4cos³(x) + 3.cos(x) - 6.cos(x).sin²(x) + 8.cos(x).sin^4(x)

= 8cos^5(x) - 10cos³(x) + 3.cos(x) - 6.cos(x).(1 - cos²(x)) + 8.cos(x).(1 - cos²(x))²

= 8cos^5(x) - 10cos³(x) + 3.cos(x) - 6.cos(x) + 6cos³(x) + 8.cos(x).(1 + cos^4(x) - 2cos²(x))

= 8cos^5(x) - 6cos³(x) - 4cos³(x) + 3.cos(x) - 6.cos(x) + 6cos³(x) + 8.cos(x) + 8cos^5(x) - 16cos³(x)

= 16.cos^5(x) - 20.cos³(x) + 5.cos(x)

Et donc, cos(5x) = T(cos(x))
*****

Si x = Pi/5 --> cos(5x) = cos(Pi) = -1

Il faut résoudre T(x) = -1

16x^5 - 20.x³ + 5x + 1 = 0

x = -1 est solution triviale --> 16x^5 - 20.x³ + 5x + 1 est divisible par (x+1), on fait ma division euclidienne :

(x+1).(16x^4 - 16x³ - 4x² + 4x + 1) = 0

Et comme cos(Pi/5) est différent de -1, il reste à résoudre : 16x^4 - 16x³ - 4x² + 4x + 1 = 0

(4x² - 2x - 1)² = 0

4x² - 2x - 1 = 0

x = (1 +/- V5)/4

Mais comme Pi/5 est dans le 1er quadrant, cos(Pi/5) > 0 et donc :

cos(Pi/5) = (1 + V5)/4 qu'on peut écrire sous la forme plus "tordue" donnée dans l'énoncé, soit V[(3+racine(5))/8]

[Ben314]

Salut,

oui j'ai utilisé les complexes mais je ne pense pas avoir trouvé la bonne solution, quand je développe a^5+5a^4b+10a^3b²+10a²b^3+5ab^4+b5 je ne sais pas si dois garder les "i" du sinus?

Evidement que oui.
Si tu veut appliquer la formule pour développer, ben il faut évidement que tu prenne et !

Sinon, et surtout vu la forme sous laquelle tu doit trouver la valeur de cos(pi/5), je sais pas trop ce que l'auteur de cet exercice avait dans la tête : pour calculer avec , le premier truc qui vient à l'esprit, c'est effectivement d'écrire que donc que .
Sauf que ça conduit évidement à une équation de degré 5 et qu'il faudrait peut-être se poser la question de savoir si "le premier truc qui vient à l'esprit" c'est le plus malin ou pas. Et si on a deux sous de bon sens, on se dit que d'écrire donc , bn ça serait que de degrè 3 et pas 5...

[Pseuda]

On peut vérifier que T((1+V5)/4)=-1, donc c'est une racine du polynôme T(X)+1, tout comme cos(pi/5). Le problème est de montrer que c'est la même. Les autres sont cos(3pi/5) et -1, il faut montrer que cos(pi/5) et cos(3pi/5) sont des racines doubles. C'est là le problème. Sinon, méthode de Black Jack.

Ou alors, il faut montrer que les racines de T(X)+1 sont toutes réelles de valeur absolue inférieure à 1, donc peuvent s'écrire X=cos(x). Dès lors T(cos(x))+1=0 => cos(5x)=-1=cos(pi), et on a les racines en cos(x) : 2 doubles, 1 simple, et on prend la seule positive.

[Black Jack]

Sans dire (ni penser) que la méthode vers laquelle nous pousse la rédaction de l'énoncé est la plus directe, elle ne comporte cependant qu'une mini difficulté.

Celle de repérer que 16x^4 - 16x³ - 4x² + 4x + 1 peut s'écrire (4x² - 2x - 1)²

Et pourtant, ce n'est pas si difficile que cela à "renifler".

Mais le "reniflage" ne s'apprend pas vraiment dans les écoles.