Dm sur les vecteurs

[furiousbryant]

Bonsoir a tous j'ai un DM sur les vecteurs pour vendredi et je bloque sur cette exercice:

soit (O;i;j) un repère orthonormal du plan. Soient deux vecteurs u(x;y) v(x';y') dans la base (vecteur i,j). On définit aussi les points A(x,y) et B(x',y')

1. MOntrer que si vecteur u et v sont orthogonaux, alors:
x²+x'²+y²+y'²=(x'-x)²+(y'-y)²

Indication: Considerer le triangle OAB.

2. En déduire que si vecteur u et v sont orthogonaux, alors xx'+yy'=0

3.Montrer que, pour tout réels x,x',y et y', l'égalité
(x'-x)²+(y'+y)²=x²+x'²+y²+y'²-2(xx'+yy')
est toujours vraie

4. En déduire que si xx' + yy'=0 alors les vecteurs u et v sont orthogonaux

Remarque: on vient de montrer que els vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si xx'+yy'=0

5.Application: Quelle est la nature du triangle ABC avec les points A(-3;-1), B(1;-3) et C(4;3)?

[emdro]

Bonsoir,

1), c'est le théorème de Pythagore dans OAB, rectangle en O, non?
exprime les distances OA OB et AB, et tu verras.

2) c'est xx'+yy'=0, et non xx'=yy'=0. Tu développes l'expression précédente, et ça marche!

3)développement

4) réciproque du théorème de Pythagore.

Bon courage!

[prody-G]

Bonjour,

1) Comme il est indiqué, considérons le triangle ABC.
On a = et =
=> est orthogonal à
est orthogonal à
OAB est rectangle en O
AB² = OA² + OB²
(x'-x)² + (y'-y)² = x²+y²+x'²+y'²

2) C'est pas plutôt xx'+yy' = 0 ?

3) Petit développement
4) Utilise le résultat obtenu à la 3) et à la 1)
5) Application numérique = remplacement des x et y par les valeurs numériques données dans l'énoncé.

Voili voilou fais toi plaisir

[furiousbryant]

Merci pour les aides et oui exact c'est bien xx'+ yy'=0 désolé.

[furiousbryant]

désolé mais je n'ait pas très bien compris la 4 :hein:

[prody-G]

Si xx'+yy'= 0,
alors (x'-x)²+(y'+y)² = x²+x'²+y²+y'² - 2(xx'+yy')
= x²+x'²+y²+y'² = x²+y² + x'²+y'² = OA² + OB²


or (x'-x)²+(y'+y)² = AB² => AB² = OA² + OB²
=> OAB rectangle en O => (OA) perpendiculaire à (OB)

j'avais pas fait cette démonstration du produit scalaire nul hihi

[furiousbryant]

5) Application numérique = remplacement des x et y par les valeurs numériques données dans l'énoncé.

Dois-je utiliser la réciproque de pythagore ??

[prody-G]

Non pas besoin fais-toi un dessin puis regarde ABC semble être rectangle en quoi (je suppose qu'on te demande qu'il est rectangle).
Pis tu regardes les deux vecteurs qui semblent être orthogonaux. Tu calcules leurs coordonnées. Et tu vérifies que xx'+yy' = 0. Par équivalence, ton triangle devrait être rectangle.

[prody-G]

j'ai fait le dessin et le triangle semble être rectangle en B.
Donc calcule les coordonnées des vecteurs (x;y) et (x';y'). Puis tu vérifie avec la formule que tu viens de démontrer.