DM sur les fonctions (term S)

[Cbaz]

Bonjour,
j'ai un petit problème sur ce sujet:

Soit f une fonction définie sur [1 ; + infini[ avec f(x) = 0.5x - [(racine(x²-1))/x] de courbe représentative C.


1) a) Démontrer que la droite d'équation 2y-x+2=0 est asymptote à C lorsque x tend vers "+ l'infini"

b) Justifier que pour tout x>=1, [(racine(x²-1))/x]<1

c) En déduire la position relative de C et de D sur [1 ; + infini[

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Pour le 1) a), j'ai trouvé que la droite d'équation est y=0.5x - 1

j'ai ensuite appliqué le théorème qui dit que si lim [f(x)-(ax+b)]=0 lorsque x tend vers "+ l'infini", mais le pb est que je trouve lim [f(x)-(ax+b)]= "+ infini" lorsque x tend vers "+ infini" :

j'ai fait comme ça:

soit h(x)= f(x) - y
= 0.5x - ((racine(x²-1))/x) - (0.5x - 1)

après avoir tout dévelloppé, j'ai utilisé la quantité conjuguée pour enlever les racines du numérateur, et j'ai obtenu au final:

h(x)= (-x²+x+1)/(x²+x(racine(x²-1)))

et lorsque j'étdudie lim h(x) en "+ infini", j'obtiens (après avoir mis en facteur les x du plus haut degré au numérateur et au dénominateur) une limite de la forme

lim "+ infini"/1 (et ça donne donc "+ infini")


Sinon, pour le b), je pensais dériver f(x) pour étudier ses variations, mais je trouve comme dérivée:

f'(x)= 0.5 - [x(2x/2 racine (x²-1))-1(racine(x²-1))/x²]
= 0.5 + (1/(racine (x²-1)))

et là je ne vois pas comment je pourrais dresser son tableau de signe (à f'), pour connaitre les variations de f(x)


Et pour le c) je pensais faire un tableau de signe de h'(x) comme ça lorsque h'(x) positif, alors C au-dessus de D et inversement si h'(x) négatif, alors C en dessous de D. Est-ce la bonne méthode?


Pourriez-vous m'aider svp?
Merci d'avance

Cbaz

[rene38]

Bonjour

j'ai fait comme ça:

soit h(x)= f(x) - y
= 0.5x - (racine(x²-1)/x) - (0.5x - 1)

après

après, tu te compliques la vie.
h(x)= f(x) - y
h(x)= 0.5x - (racine(x²-1)/x) - (0.5x - 1)





qui tend bien vers 0 lorsque x tend vers

[Cbaz]

Bonjouraprès, tu te compliques la vie.
h(x)= f(x) - y
h(x)= 0.5x - (racine(x²-1)/x) - (0.5x - 1)





qui tend bien vers 0 lorsque x tend vers

Merci,
Mais je ne vois pas comment le limite de h(x) vaut 0 pour x->infini car lim de la racine vaut 0, mais lim 1 = 1 en l'infini

[rene38]

Quand x tend vers
x² tend vers
1/x² tend vers 0
1-(1/x²) tend vers 1
la racine tend vers 1
et h(x) tend vers 1-1 ...

[Cbaz]

OK, merci bcp!