DM sur la droite d'Euler :

[alex2810]

Bonjour à tous je suis en seconde et j'ai un DM de mathématique J'ai déjà fait la partie numérique sur les tableaux de signes mais arrive la seconde partie sur la droite d'Euler, malheureusement pour moi je ne comprends pas du tout ce chapitre sur les vecteurs et je suis mauvais en géométrie en général je sais que ce forum est SUPER et c'est pour cette raison que je vous demande de l'aide, (merci d'avance à tous) :

Première partie : Conjectures
1) ABC est un triangle quelconque.

a) Construire le centre O du cercle circonscrit, le centre de gravité G et l'orthocentre H du triangle ABC.
Quelle propriété géométrique semblent vérifier les points O, G et H ?

b) Construire le cercle circonscrit au triangle ABC.

c) Construire les symétriques du point par rapport aux cotés du triangle. Quelle conjecture peut on faire ?

Deuxième partie : Étude dans le cas général :
On considère un triangle ABC. On désigne par A', B' et C' les milieux respectifs des cotes {BC}, {AC} et {AB}.
( DANS CETTE PARTIE IL N'Y A QUE DES VECTEURS)

1) On désigne par G le centre de gravité du triangle ABC, on rappelle que AG=2/3 AA' (vecteurs;;) )

a) Démontrer que :
GA+GB+GC=0 (vecteurs)
b) Si un point P est tel que PA+PB+PC=0 (vecteurs), peut on en déduire que P est le centre de gravité du triangle ABC ?
c) Démontrer que pour tout point M du plan on a :
MA+MB+MC = 3MG (vecteurs)

2) On désigne par Y les cercle circonscrit au triangle ABC et on note O le centre de Y.
a) Construire le point H défini par :
OH=OA+OB+OC (vecteurs)
b) Démontrer que les droites (AH) et (OA') sont parallèles. Que représente la droite (AH) pour le triangle ABC.

3) Démontrer que les points O,H,G sont alignés.

On vient de démontrer que, dans un triangle quelconque, le centre du cercle circonscrit, le centre de gravité et l'orthocentre sont alignés. Lorsque ces points ne sont pas confondus, la droite qui les contient est appelée la DROITE D'EULER du triangle.

[oscar]

figure


http://yfrog.com/1sdreulerg

[alex2810]

MERCI Oscar pour la figure.

[oscar]

V MA + V MB + V MC = VMG+VGA+ VMG+V GB+ vMG + V GC = 3 vMG

Car GA +GB+GC =0


OH = OA+OB+OC
OA+AH = OA +OB+OC ( ce sont des vecteurs)
AH = OB +OC
AH = OA' +A'B + OA' +A'C
AH = 2 OA'

=> AH // OA'