DM sur la droite d'Euler

[maths0]

Voyons si tu as compris:

Réduire la somme vectorielle suivante en un vecteur:

[chomen]

Cela fera simplement je crois...

[maths0]

Oui très bien !
Revenons à nos moutons:
D'après l'énoncé: .
Or d'après la relation de Chasles:
.
.
.
On obtient donc: .
En regroupant: .
Sachant que I est le milieu de [BC]: .
B-----I-----C :ptdr:

[chomen]

Je trouve mais je crois que c'est faux...

[maths0]

Si I est le milieu du segment [BC]:
B----------I----------C

c'est BC
Donc:

[chomen]

Ah non, ça doit surement être

[maths0]

Oui ! ouf ! et
Un vecteur existe en tout point du plan:
On reviens sur le point de départ donc c'est vecteur nul.
En regroupant: .
Sachant que I est le milieu de [BC]: .
On retombe sur: .
Or on veut démontrer que:
Encore un tour de Chasles .... mais cette fois avec A dans
Sachant que logiquement ...
On cherche à retomber sur

[chomen]

Cela devrait faire

[maths0]

???
On retombe sur: .
or d'après Chasles: .
Donc: .
Donc: .
On regroupe les AI ..., je rappelle que: on cherche à retomber sur

[maths0]

D'après l'énoncé: .
Or d'après la relation de Chasles:
.
.
.
On obtient donc: .
En regroupant: .
Sachant que I est le milieu de [BC]: .
On retombe sur: .
Or d'après la relation de Chasles: .
D'où en remplacant: .
Donc:.
Et: .
En poursuivant: .
En passant de l'autre coté: .
Et: .
Finalement: . CQFD

[chomen]

Ah oui merci beaucoup, je m'étais trompé...
Cela va donc faire :

[maths0]

On dit souvent par abus de langage, G se trouve au 2/3 de la médiane (AI).
Ou au 2/3 de [AI].
Ce qui prouve que G est centre de gravité du triangle ABC.

Abus de langage car la médiane est par définition une droite n'a pas de "2/3".
Voilà pour la première question :mur:

[chomen]

D'accord, merci beaucoup de ton aide !
Pourrons nous poursuivre cela plus tard a moins que ça ne te dérange ?

[maths0]

Non peu importe, bon courage pour la suite.

[chomen]

Merci beaucoup

[chomen]

Cela suffit donc pour justifier que G est le centre de gravité du triangle ?

[maths0]

Oui cela suffit. Avec la relation vectorielle de AG en fonction de AI tu peux placer G.
Donc savoir où il est (2/3 de la médiane). Et donc savoir que c'est le centre de gravité.
Alors qu'avec GA+GB+GC=0 si je te demande placer G tu ne "peux pas".

[chomen]

Et pour la suite, je pense avoir une idée :

Pour démontrer que O,H et G sont alignée, on démontre que sont colinéaires à l'aide des calculs précédents...
Est-ce bien ça ?

[maths0]

Il y a de l'idée ...
Dans quel cas 2 vecteurs sont colinéaires ?

[chomen]

Lorsque par exemple on a k et donc que