TS sujet arithmétique

[raptor77]

Bonjour les ami(e)s j'ai un problème avec cet exercice :
Soit n un entier naturel au moins égal à, dont la décomposition en facteurs premiers est donnée par n=P1^(alpha1)*P2^(alpha2)*...*Pr^(alpha r) où P1, P2,...,Pr sont des nombres premieurs deux à deux distincts et alpha1, alpha 2,...,alpha r sont entier naturel tous non nuls. On note D(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
1) Après avoir décrit l'ensemble des diviseurs de n montrer que
D(n)=(alpha 1+1)*(alpha 2+1)*...*(alpha r+1)
b)déterminer le plus petit entier naturel non nul ayant 17 diviseurs.(ca je pense avoir bon)
c)déterminer le nombre de rectangles dont els côtés sont à mesure entière et dont la superficie vaut 7000 unités d'aire

2)soit n un entier naturel au moins égall à.
a) Montrer que D(n) est impair si et seulemnt si n est impair
n)montrer que n est un carré parfait et que le produit de tous els diviseurs de n est racine (n^D(n))
Merci d'avance pour votre aide.
Cordialement Raptor

[raptor77]

quelqu'un peut-il m'aider svp?

[lapras]

salut,
ton exercice est tres simple !
je croyais que tu t'attaquais aux olympiades....
pour le 1) c'est évident !
Essaye de prendre un exemple simple :
n = 2^2 * 5^3
2 ; 2^2 ; 2*5 ; 2^2 * 5 ; 2*5² ; 2^2 * 5² ; 2 * 5^3 ; 2²*5^3
pour chaque puissance de deux, on peut trouver 3 diviseurs correspondant aux 3 puissances de 5.
il y a donc (2+1)*(3+1) diviseurs


b)
c'est pas drole c'est avec un nombre premier ... mais bon, ca te simplifie la vie :
on ne peut pas avoir plusieurs nombres premiers divisant n car avec la formule précédente, et du fait que 17 est premier, c'est impossible.
Le plus petit est donc 2^16

c)
soit x et y la mesure de la longueur et de la largeur du triangle
alors
xy = 7000
Quel est le nombre de divieurs de 7000 ?
exmplication : 7000 * 7 * 10^3 = 7*5^3 * 2^3
son nombre de diviseurs est donc de 4*4*2 = 32
donc il y a 32 x et y possibles.
2)
a)

soit n un entier naturel au moins égall à.

égal à ?


a+, lapras

[prody-G]

Soit n un entier naturel au moins égal à

2)soit n un entier naturel au moins égall à.

salut,

à...1 je suppose...

1)Tu devrais avoir la démo dans ton cours non ?
c)Regarde la décomposition en facteurs premiers de 7000.

2)D(4)=3 ??

[lapras]

Comme le dit prody G, vérifie ton énoncé car par exemple n = 2^(2k) a un nombre de diviseurs impair !
Alors que 2^(2k) est pair....

[raptor77]

C'est au moins égale à 2
Et c'est bien :montrer que D(n) est impair si et seument si n est impair

Lapras comment tu fais pour démontrer mathématiquement le 1)a stp?

[raptor77]

quel type de raisonnement je pourrais utiliser pour démontrer le 1)a)?

[prody-G]

je ne penses pas que ce soit vrai, cela voudrait dire qu'un entier est impair si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont impairs, or par exemple 27 est impair mais D(27)=4 pair.

Sinon pour démontrer 1)a. Un raisonnement de dénombrement peut être. Soit , donc il y a façons de choisir l'exposant de , de même pour les autres...donc tu en déduis le produit.

[raptor77]

je ne penses pas que ce soit vrai, cela voudrait dire qu'un entier est impair si et seulement si, dans sa décomposition en facteurs premiers, tous les exposants sont impairs, or par exemple 27 est impair mais D(27)=4 pair.

Sinon pour démontrer 1)a. Un raisonnement de dénombrement peut être. Soit , donc il y a façons de choisir l'exposant de , de même pour les autres...donc tu en déduis le produit.

C'est quoi un raisonnement de dénombrement?

[prody-G]

C'est comme en probas. Si tu as 3billes, 2stylos, 4pièces.
Tu as 3x2x4 façons de prendre une bille, un stylo et puis une pièce.
C'est pareil avec les exposants ici, en te demandant de combien de façons tu peux choisir un diviseur, c'est-à-dire, de combien de façons tu peux affecter une valeur à une puissance de p. C'est plus clair ? sinon j'peux toujours essayer de faire mieux...^^'

[raptor77]

C'est comme en probas. Si tu as 3billes, 2stylos, 4pièces.
Tu as 3x2x4 façons de prendre une bille, un stylo et puis une pièce.
C'est pareil avec les exposants ici, en te demandant de combien de façons tu peux choisir un diviseur, c'est-à-dire, de combien de façons tu peux affecter une valeur à une puissance de p. C'est plus clair ? sinon j'peux toujours essayer de faire mieux...^^'

ESt-ce que tu peux montrer le raisonnement complet stp parce que pour l'instant c'est un floue pour moi?

[prody-G]

Okay, donc on reprend l'exemple des 3billes(notées a,b,c), des 2stylos(notés A,B) et des 4pièces(notées 1,2,3,4). On appellera un triplet le choix d'une bille, d'un stylo et d'une pièce, soit par exemple le triplet [a,A,1].
Combien y a-t-il de triplets possibles différents ?
On compte : [a,A,1], [a,A,2], [a,A,3], [a,A,4]
[b,A,1], [b,A,2], [b,A,3], [b,A,4]
[c,A,1], [c,A,2], [c,A,3], [c,A,4]
[a,B,1], [a,B,2], [a,B,3], [a,B,4]
[b,B,1], [b,B,2], [b,B,3], [b,B,4]
[c,B,1], [c,B,2], [c,B,3], [c,B,4]

On a exactement 24 triplets possibles.
Parce que tu as 3 choix possibles pour la bille, puis 2 choix possibles pour le stylo, et 4 choix possibles pour la pièce. Soit 3x2x4=24.

Et c'est pareil avec les diviseurs, sauf qu'un diviseur est un i-uplet.
Un diviseur de n est de la forme avec . Donc combien de diviseurs peux-tu créer ?

[raptor77]

Okay, donc on reprend l'exemple des 3billes(notées a,b,c), des 2stylos(notés A,B) et des 4pièces(notées 1,2,3,4). On appellera un triplet le choix d'une bille, d'un stylo et d'une pièce, soit par exemple le triplet [a,A,1].
Combien y a-t-il de triplets possibles différents ?
On compte : [a,A,1], [a,A,2], [a,A,3], [a,A,4]
[b,A,1], [b,A,2], [b,A,3], [b,A,4]
[c,A,1], [c,A,2], [c,A,3], [c,A,4]
[a,B,1], [a,B,2], [a,B,3], [a,B,4]
[b,B,1], [b,B,2], [b,B,3], [b,B,4]
[c,B,1], [c,B,2], [c,B,3], [c,B,4]

On a exactement 24 triplets possibles.
Parce que tu as 3 choix possibles pour la bille, puis 2 choix possibles pour le stylo, et 4 choix possibles pour la pièce. Soit 3x2x4=24.

Et c'est pareil avec les diviseurs, sauf qu'un diviseur est un i-uplet.
Un diviseur de n est de la forme avec . Donc combien de diviseurs peux-tu créer ?

ba B1*B2*...Br?

[prody-G]

pas exactement, on va raisonner comme tout à l'heure :
de combien de façons peux-tu choisir ?
sachant que peut être égal à
De même de combien de façons peux-tu choisir
sachant que peut être égal à

Donc le nombre de diviseurs de n est le produit du "nombre de façons de choisir " pour chaque i.

[raptor77]

pas exactement, on va raisonner comme tout à l'heure :
de combien de façons peux-tu choisir ?
sachant que peut être égal à
De même de combien de façons peux-tu choisir
sachant que peut être égal à

Donc le nombre de diviseurs de n est le produit du "nombre de façons de choisir " pour chaque i.

Donc c'est (B1+1)*(B2+1)*..*(Br+1)?

[prody-G]

non parce que n'est pas "fixe" mais on y arrive ! combien as-tu de choix pour ?

[raptor77]

non parce que n'est pas "fixe" mais on y arrive ! combien as-tu de choix pour ?

On alpha + 1?

[prody-G]

ouai exactement. représente le nombre de valeurs que peut prendre . Donc en faisant le produit de tout ça tu retrouves ta formule.

[raptor77]

ouai exactement. représente le nombre de valeurs que peut prendre . Donc en faisant le produit de tout ça tu retrouves ta formule.

Comment tu justifies qu'il faut prendre le produit?

[prody-G]

C'est comme avec le choix des stylos et des billes.