Un réel avec une suite - sujet Grand Oral

[semapa]

Bonjour,

Pour mon grand oral, n'ayant pas d'idée, mon professeur m'a proposer ceci "comment donner une approximation d'un nombre réel à l'aide de suites ?".

J'ai fait plusieurs recherches et exercices mais je ne suis pas du tout certain comment procéder... pouvez-vous m'aider ?

Merci

Serge

[lyceen95]

Pour un réel quelconque, on peut l'approcher par une suite de plus en plus précise, en prenant son écriture en base décimale.
Par exemple pour :
U0=1
U1=1.4
U2=1.41
...
U8=1.41421356
...
etc infiniment.

Là c'est une suite simple à écrire à la main, mais pas très élégante du point de vue mathématique. C'est néanmoins la suite idéale pour introduire le sujet.
Tu peux parler de dichotomie, pour approcher n'importe quel nombre plus petit que 1
Par exemple pour
U0=1 : X est plus proche de 1 que de 0, donc on commence avec 1
U1=1-1/2=1/2 : on ajoute ou on retranche 1/2 , pour se rapprocher de X
U2=1/2+1/4 =3/4: on ajoute 1/4, parce que X est plus grand que 1/2
U3=3/4-1/8 : on retranche 1/2, parce que X est plus petit que 3/4
etc
A chaque fois , on fait une division par 2, on a une valeur approchée de plus en plus précise.
Le mot dichotomie vient du grec dikhotomia, qui veut dire "division en 2 parties"


J'ai tapé PI limite de suite sur Google ... je suis arrivé sur cette page https://www.pedagogie.ac-nantes.fr/mathematiques/enseignement/groupe-de-recherche/2017-2019/en-route-vers-pi-1121427.kjsp?RH=1160079471359où on propose 3 suites qui amènent à pi
La suite 1 -1/3+1/5-1/7+1/9-1/11 etc etc tous les nombres impairs, en changeant de signe à chaque fois.
Plus on calcule de termes, plus on se rapproche de Pi.

Des suites construites avec les nombres entiers et qui conduisent vers Pi, il y en a plein,

En 5 minutes, tu ne pourras pas parler de tous ces exemples ... mais tu seras armé pour répondre à des questions ouvertes sur le sujet.

[lyceen95]

Correction .. la suite proposée tend vers Pi/4, et pas vers Pi.

[hdci]

Et pour racine de deux, il y a la méthode d'Héron d'Alexandrie qui est de convergence très rapide

Chercher "suite de Héron" sur Google.

De façon générale, pour , c'est la suite définie par la relation de récurrence



Et démontrer que cette suite converge vers est du niveau terminale (point fixe d'une fonction continue, et sens de variation de la suite).

[catamat]

Bonjour

Le nombre d'or est aussi sympa à étudier
Il est limite,en particulier, de la suite telle que et pour tout entier n , .

On peut y retrouver les termes de la suites de Fibonacci (si on écrit les termes sous forme de fractions).

Plus généralement on peut évoquer les fractions continues (voir le début du document suivant)
https://dms.umontreal.ca/~rousseac/chap ... ntinue.pdf

[mathelot]

bonsoir,
il y a la suite de Newton-Raphson.
Soit f une fonction dérivable, admettant une racine telle que
de dérivée ne s'annulant pas au voisinage de

Le but est de calculer des valeurs approchées de .

Après calculs, cette suite vérifie la formule de récurrence:

avec proche de

https://fr.wikipedia.org/wiki/M%C3%A9thode_de_Newton

Quand on applique la méthode Newton-Raphson à l'équation , on retrouve
la méthode de Héron. Notons que la méthode de Héron du calcul de valeurs approchées
de est illustrée par un raisonnement géométrique: on effectue la moyenne
entre une valeur approchée par excès et une valeur approchée par défaut.Si ces deux valeurs sont
les mesures de longueur des côtés d'un rectangle, à chaque itération ce rectangle devient plus (proche du) carré.

[lyceen95]

L'exemple que je donnais sur Pi a un côté magique. Par quel miracle cette suite converge-t-elle vers Pi/4.
Aucune idée, et si par hasard un prof te demande de le justifier, ça risque d'être compliqué.

Les 2 exemples sur la méthode d'Heron d'Alexandrie, ou la méthode proposée par Mathelot sont moins piégeux.
Si on te pose des questions, pourquoi ça marche, tu peux avoir des réponses.

[mathelot]

Pour avoir des exemples de suites qui tendent vers ,consulter le site:

http://pi314.net/fr/index.php

[mathelot]

Comme contre-exemples, il y a des nombres réels (en théorie probabiliste) dont il est impossible (structurellement, ontologiquement impossible) de calculer la moindre décimale, résultat qui m'avait fortement intrigué