Suites /terminale s

[maria3bx]

bonjour à tous ,
j'ai un exercice ou je bloque un peu voici l'énoncé:

on considère la suite (Un) définie par U0 et, pour tout n appartenant à N
Un+1 = ((Un+1) / racine (un²+1)) - 1

il faut montrer que (Un ) est constance si et seulement si U0 prend deux valeurs que l'on calclulera.

En fait j'ai dit qui si Un est constante alors Un+1 = Un = ((Un+1) / racine (un²+1)) - 1

j'ai essayé de mettre tout au même dénominateur donc ça fait :
(Un+1 - racine(un²+1))/ racine( Un²+1)
mais en faisant ça j'ai juste trouvé que racine(Un²+1)= 1 donc Un = 0 mais je ne vois pas pour la deuxième valeur ce que j'ai fait est-il faux? :hein:
merci

[Antho07]

La formule est bien celle ci?

[maria3bx]

oui c'est exact ! dois-je mettre au carré l'ensemble pour enlever les racines? enfin je sais pas si ça m'avancera

[Antho07]

Ton raisonnement est en partie juste.

Je vais noter pour alléger l'écriture.

On écrit donc comme tu l'as tres bien dit.
Si la suite est constante alors

On a donc

soit


On remarque ici que l'on peut diviser à droite et à gauche par x+1 et on arrive a x=0.

MAIS ATTENTION , la division par 0 est interdite. or si x=-1, x+1=0.
Donc ton raisonnement n'est valable que si x est different de -1.

Que ce passe t'il si x=-1 ()

Ben regardons

Donc si à un moment Un vaut -1, tous les termes apres valent -1.
En particulier si Uo vaut -1 alors tous les termes de la suite valent -1 et la suite est constante.

L'autre valeur est -1

[maria3bx]

ensuite on me dit que l'on prend U0 ]-1;0[

a/ montrer que pour tout n appartenant a N on a : -1 < Un < 0 et que la suite (Un ) décroit.
Que peut-on en déduire ?


là je vois pas trop on sais que Un est constante si U0 = -1 ou U0 = 0
or là ce n'est plus le cas ah peut-etre si on se ressert de
Un+1 = (Un²+1 /Un²+1) - 1

alors vu qu'on sait que -1< Un <0
en supposant que Un+1 >-1 en remplaçant Un+1 par son expression on trouve 0 > -1 donc un+1 > -1
le problème est que l'on ne peut pas dire que 0 > 0 :hum: sinon par récurrence on aurait pu le prouver non?

[Antho07]

Deja pour l'encadrement, montrer que pour tout n dans N , blablabla.....
cela sent la récurrence.

Essayons:

Hyothese: -1<Un<0

Initialisation: n=0 c'est ok

Heredité: On suppose -1<un<0

Montrons que -1<U(n+1)<0


Alors

on a

(car on divise par un nombre positif donc on change pas le sens)



L'encadrement a gauche est bon.

Reste à montrer à droite que

soit

Or


(fonction racine croissante sur R+

(fonction inverse decroissante sur R+*)

On a bien l'encadrement qu'il faut

[maria3bx]

il fallait ensuite montrer que la suite (Un ) décroit donc j'ai pris une valeur de U0 et j'ai calculé U1 et U2

j'ai vu que U0
il fallait en déduire quelque chose ne peut-on pas déduire qu'elle est bornée en disant qu'elle est minorée par -1 et majorée par 0 ?

[Antho07]

Pour montrer qu'elle décroit il faut montrer que quelque soit n , .

Ensuite une suite décroissante et minorée....

[maria3bx]

ah oui j'ai calculé pour une suite croissante :we: merci !
donc minorée par 0 !
ensuite il faut que je montre que pour tout n de N on a
0 < Un+1 +1 < ( 1/racine(U0²+1) ) (Un+1)

( désolée pour la présentation je ne sais pas comment faire les racines )

bon déjà on sait que Un < Un+1 que -1
-1+1 < Un+1 +1 < 1
0 < (Un+1) / (racine(Un²+1)) -1 < 1/ (racine(Un²+1)) -1
en remplaçant u0 dans l'expression de Un+1

on obtient ce que l'on devait démontrer ?

[maria3bx]

quelqu'un peut me dire si le raisonnement est bon ou si c'est faux lol ?

[maria3bx]

bonjour à tous je suis au terme de mon exercice or je bloque a l'avant derniere question : on me dit : on pose k = 1/ racine (U0²+1)

montrer que pour tout n de N on a 0< Un+1 < ou = k puissance n *(U0+1)
sachant que j'ai prouvé que 0 < Un+1 +1 < 1 / ((racine(U0²+1)) (Un+1))

et que -1 < Un< 0 que la suite décroit

comment dois-je le prouver?