J'ai un DM de Maths en deux parties sur les suites numériques, et je bloque légèrement sur une ou deux questions, j'espérais que vous auriez pu m'éclairer de vos lumières.
Voici l'énoncé :
EXERCICE 1
Pour tout entier naturel n, on pose Un = (n^10)/(2^n)
1. Prouver, pour n entier naturel non nul, l'équivalence :
Un+1
0,95 Un si et seulement si (1+(1/n))^10 1,92. On considère la fonction f définie sur [1;+;)[ par f(x) = (1+(1/x))^10
a) Etudier le sens de variations de f ; déterminer sa limite en +;)
b) Montrer qu'il existe, dans [1; +;)[ un unique nombre réel a tel que f(a) = 1,9
c) Déterminer l'entier naturel n0 tel que n0 - 1
a n0 (justifier la réponse)d) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 16, on a : (1+(1/n))^10
1,93. a) Déterminer le sens de variations de la suite (Un) à partir du rang 16.
b) Que peut on en déduire pour la suite (Un) ?
4. Démontrer pour tout entier naturel n
16 l'encadrement 0 Un 0,95^n-16 x U16En déduire la limite de la suite (Un)
EXERCICE 2
On considère l'ensemble (E) des suites (xn) définies, pour tout entier naturel n, par xn+2 - xn+1 = 0,24 xn
Remarque : une telle suite est dite « récurrente double » et ne peut « commencer » que si on donne la valeur des deux premiers termes.
1. On pose xn = q^n
Montrer que la suite (xn) appartient à (E) si et seulement si : q2 - q - 0,24 = 0
En déduire les suites géométriques appartenant à (E)
On admet alors que (E) est l'ensemble des suites (Un) définies par Un = a(1,2)^n + b(-0,2)^n, avec a et b réels.
2. On considère une suite (Un) de l'ensemble (E).
a) Déterminer les valeurs de a et b telles que U0 = 6 et U1 = 6,6
b) Quelle est alors l'expression de Un en fonction de n ?
Déterminer la limite de Un lorsque n tend vers +;)
3. Vrai ou faux?
Vous pouvez simplement donner un exemple ou un contre exemple, en agissant sur les coefficients a et b et en démontrant votre choix
a) Il existe au moins une suite de l'ensemble (E) dont la limite soit -;)
b) Toutes les suites de l'ensemble (E) sont croissantes.
c) Si a = b = 1 alors la suite de l'ensemble (E) qui correspond à ces valeurs est géométrique.
d) Il existe une suite de (E) qui est constante.
Pour l'exercice 1, j'ai essayé de répondre à la 1. en remplaçant Un+1
0,95 Un par Un dans la consigne. Je reste bloqué à (n+1)^10/2^(n+1) = 0,95*((n^10)/(2^n))Pour l'exercice 2, j'ai commencé par développer xn+2 - xn+1 = 0,24xn, puis j'ai trouvé q^2 - q -0,24q = 0, d'où les suites géométriques appartenant à (E) sont les suites qui répondent à q^n+2 - q^n+1 -0,24 q^n = 0.
Puis, pour le 2. j'ai déduit que q = 6,6/6 = 1,1
d'où Un = U0 * q^n = 6 x 1,1^n
Puis j'ai trouvé que U0 = a+b = 6, et U1 = 0,2(6a-b) = 6,6, d'où 6a - b = 33.
On a donc un système où a+b = 6 et 6a-b = 33. En le résolvant je trouve a = 39/7 et ça ne me va pas du tout...
Quelques pistes ?
Merci d'avance.