bonjour j'ai un problème en maths
c'est un exo en deux parties dans la A on m'a fait etudier le sens de variation et les limites de la fonction definie par f(x)=1/xln(1+x) sur ]0;+inf[
alors j'ai trouvé que la fonction était decroissante et admettait l'axe des abscisses comme assymptote horyzontale en plus l'infini donc la limite en plus l'infini de f(x) = 0
d
onc mon premier problème est là pour la limite en 0 je trouve 1 or f(0)=indefini comment est ce que je fais pour tracer ma courbe???
ensuite on me demande d'etudier les suites Un et Vn avec :
Un=(1+1/n)^n et Vn=ln(Un)
1) il faut calculer Un et Vn pour n=10,100,1000,10000,100000
2) je doit montrer que Vn=f(1/n) ça j'y suis arrivé
3) d'apres les resultats de la partie A je doit determiner le sens de variation de la suite Vn et sa limite et là je ne comprends pas je vois le resultat mais je ne sais pas l'expliquer
4) deduire des resultats précédents le sens de variation de la suite Un ainsi que sa limite les conjecture emise au 1 sont elles validées sachant que j'ai dit que les deux suites etaient croissantes et que Vn converge vers 1 et Un vers un nombre proche de 2.8
est ce que vous pourriez m'aider pour 4 dernières questions en espèrant que j'ai été assez clair
Ln et suites
14 messages
- Page 1 sur 1
par Anonyme » 29 Déc 2005, 10:33
excusez moi mais je ne comprend pas du tout
je sais que Vn=ln(Un)=ln((1+1/n)^n)
=f(1/n)
=1/(1/n)ln(1+1/n)
=nln(1+1/n)
mais apres f(x) est definie par f(x)=1/xln(1+x)
et je ne comprends pas comment vous passez de V(n)=ln(Un)=ln((1+1/n)^n)
à f(x)=ln((1+1/x)^x apres si je continue sur ce que vous avez fait je retrouve bien la même derivee c'est à dire :
f'(x)= [(ln(1+1/x)-1/(x+1))*(1+1/x)^x]/[(1+1/x)^x] en simplifiant je retrouve bien f '(x)= ln(1+1/x)-1/(x+1)
moi en fait je ne suis pas d'accord sur le fait que f(x)=ln((1+1/x)^x)
je serai plus pour dire que f(1/x) = ln((1+1/x)^x) mais apres je ne sais pas si c'est bon
et puis admettons que se soit bon qu'est ce que je peux dire apres?????
je suis désole mais la je ne comprends vraiment rien
je sais que Vn=ln(Un)=ln((1+1/n)^n)
=f(1/n)
=1/(1/n)ln(1+1/n)
=nln(1+1/n)
mais apres f(x) est definie par f(x)=1/xln(1+x)
et je ne comprends pas comment vous passez de V(n)=ln(Un)=ln((1+1/n)^n)
à f(x)=ln((1+1/x)^x apres si je continue sur ce que vous avez fait je retrouve bien la même derivee c'est à dire :
f'(x)= [(ln(1+1/x)-1/(x+1))*(1+1/x)^x]/[(1+1/x)^x] en simplifiant je retrouve bien f '(x)= ln(1+1/x)-1/(x+1)
moi en fait je ne suis pas d'accord sur le fait que f(x)=ln((1+1/x)^x)
je serai plus pour dire que f(1/x) = ln((1+1/x)^x) mais apres je ne sais pas si c'est bon
et puis admettons que se soit bon qu'est ce que je peux dire apres?????
je suis désole mais la je ne comprends vraiment rien
par Fract83 » 30 Déc 2005, 12:13
Hello,
Mais si tu comprends... Tu vas voir...
> "donc mon premier problème est là pour la limite en 0 je trouve 1 or f(0)=indefini comment est ce que je fais pour tracer ma courbe???"
La, il n'y a aucun soucis : tu as bien la limite en plus l'infini de f(x) = 0, mais tu n'ecris JAMAIS f(plus l'infini) = 0 et tu sais tracer la courbe de f en plus l'infini !! Eh bien en 0, c'est exactement pareil : f(x) va se rapprocher de plus en plus de 1 lorsque x va se rapprocher de 0, mais ce n'est pas pour ca que tu auras le droit d'ecrire f(0) = 1 !
C'est bon ?
Pour la question 1), tu y est arrive ? Tu dois simplement calculer avec la calculatrice differentes valeurs de Un et de Vn...
Pour la question 3), je seche a ton niveau, mais je poste un autre message pour m'eclaircir les idees...
Bonne journee.
Mais si tu comprends... Tu vas voir...
> "donc mon premier problème est là pour la limite en 0 je trouve 1 or f(0)=indefini comment est ce que je fais pour tracer ma courbe???"
La, il n'y a aucun soucis : tu as bien la limite en plus l'infini de f(x) = 0, mais tu n'ecris JAMAIS f(plus l'infini) = 0 et tu sais tracer la courbe de f en plus l'infini !! Eh bien en 0, c'est exactement pareil : f(x) va se rapprocher de plus en plus de 1 lorsque x va se rapprocher de 0, mais ce n'est pas pour ca que tu auras le droit d'ecrire f(0) = 1 !
C'est bon ?
Pour la question 1), tu y est arrive ? Tu dois simplement calculer avec la calculatrice differentes valeurs de Un et de Vn...
Pour la question 3), je seche a ton niveau, mais je poste un autre message pour m'eclaircir les idees...
Bonne journee.
par Vondie » 30 Déc 2005, 12:22
bo njour,
pour la 3)
Vn=f(1/n) : on peut dire que Vn est la composée de deux fonctions toues deux décroissantes (f et X-->1/X ) donc elle est croissante
lim Vn = lim f(1/n). Or lim 1/n -->0 (en + l'infini)
D'après un théorème, sachant que f est continue sur ]0;+inf[ on peut dire que limf (1/n) = lim f(x) lorsque x tend vers 0 soit 1
Pour la 4) Vn=ln(Un) donc Un = exp(Vn)
Tu refais le même raisonnement qu'au 3) et tu trouves lim Vn=e (e=2,71828...)
pour la 3)
Vn=f(1/n) : on peut dire que Vn est la composée de deux fonctions toues deux décroissantes (f et X-->1/X ) donc elle est croissante
lim Vn = lim f(1/n). Or lim 1/n -->0 (en + l'infini)
D'après un théorème, sachant que f est continue sur ]0;+inf[ on peut dire que limf (1/n) = lim f(x) lorsque x tend vers 0 soit 1
Pour la 4) Vn=ln(Un) donc Un = exp(Vn)
Tu refais le même raisonnement qu'au 3) et tu trouves lim Vn=e (e=2,71828...)
par Fract83 » 30 Déc 2005, 12:43
Re Hello,
En fait, je suis une brele :happy2: !
Alors, pour la question 3) : tu sais que Vn=f(1/n). Donc, tu ecris tranquillement que Vn = n*ln(1+1/n). Ensuite, tu sais que limite en 0 de 1/x * ln(1+x) = 1. Donc, limite en plus l'infini de x*ln(1+1/x) = 1 aussi, puisque limite de 1/x quand x tends vers 0, c'est "la meme chose" que limite de x quand x tends vers l'infini... D'ou, la limite quand n tends vers plus l'infini de Vn est egale a 1.
Tu es convaincu ?
Pour le sens de variation, la tu peux te servir de ce que tu as deja etablis : comme "f(x)" est decroissante sur ]0;+inf[, tu as "f(1/x)" qui est croissante sur ]0;+inf[ (la composee de deux fonctions decroissantes est croissante). Donc, ta suite Vn est croissante (preuve pour t'en convaincre : Vn+1-Vn = f(1/n+1)-f(1/n) >= 0 puisque f(1/x) est croissante).
Rq : J'ai mis "" pour les gens rigoureux : je parle bien sur de la fonction f et de la composee de la fonction f et de la fonction h : x -> 1/x, que j'ai raccourcie en f(1/x)... L'idee est la...
Pour la question 4), l'idee est la meme que pour la question 3) : tu as Vn = ln(Un). Or, on sais que limite quand n tends vers plus l'infini de [Vn = ln(Un)] = 1. Donc, limite quand n tends vers plus l'infini de [exp(Vn) = exp(ln(Un)) = Un] = exp(1) = e.
Je te laisse continuer !
Bonne journee.
En fait, je suis une brele :happy2: !
Alors, pour la question 3) : tu sais que Vn=f(1/n). Donc, tu ecris tranquillement que Vn = n*ln(1+1/n). Ensuite, tu sais que limite en 0 de 1/x * ln(1+x) = 1. Donc, limite en plus l'infini de x*ln(1+1/x) = 1 aussi, puisque limite de 1/x quand x tends vers 0, c'est "la meme chose" que limite de x quand x tends vers l'infini... D'ou, la limite quand n tends vers plus l'infini de Vn est egale a 1.
Tu es convaincu ?
Pour le sens de variation, la tu peux te servir de ce que tu as deja etablis : comme "f(x)" est decroissante sur ]0;+inf[, tu as "f(1/x)" qui est croissante sur ]0;+inf[ (la composee de deux fonctions decroissantes est croissante). Donc, ta suite Vn est croissante (preuve pour t'en convaincre : Vn+1-Vn = f(1/n+1)-f(1/n) >= 0 puisque f(1/x) est croissante).
Rq : J'ai mis "" pour les gens rigoureux : je parle bien sur de la fonction f et de la composee de la fonction f et de la fonction h : x -> 1/x, que j'ai raccourcie en f(1/x)... L'idee est la...
Pour la question 4), l'idee est la meme que pour la question 3) : tu as Vn = ln(Un). Or, on sais que limite quand n tends vers plus l'infini de [Vn = ln(Un)] = 1. Donc, limite quand n tends vers plus l'infini de [exp(Vn) = exp(ln(Un)) = Un] = exp(1) = e.
Je te laisse continuer !
Bonne journee.
par Fract83 » 30 Déc 2005, 12:48
Re,
Vondie,
> "D'après un théorème, sachant que f est continue sur ]0;+inf[ on peut dire que limf (1/n) = lim f(x) lorsque x tend vers 0 soit 1"
En est-tu sur ?
Pour une fonction f donnee, avec xn -> x0, on a lim f(xn) = f(lim xn) si et seulement si f est continue en x0, non ? Or, la, la fonction n'est meme pas definie en 0 ! Je serais bien tente de faire intervenir son prolongement par continuite, mais on ne parle alors plus du tout de la meme fonction...
Cette histoire me gene, tu peux m'aider ?
Merci.
Bonne journee.
Vondie,
> "D'après un théorème, sachant que f est continue sur ]0;+inf[ on peut dire que limf (1/n) = lim f(x) lorsque x tend vers 0 soit 1"
En est-tu sur ?
Pour une fonction f donnee, avec xn -> x0, on a lim f(xn) = f(lim xn) si et seulement si f est continue en x0, non ? Or, la, la fonction n'est meme pas definie en 0 ! Je serais bien tente de faire intervenir son prolongement par continuite, mais on ne parle alors plus du tout de la meme fonction...
Cette histoire me gene, tu peux m'aider ?
Merci.
Bonne journee.
par Vondie » 30 Déc 2005, 13:25
Bonjour Fract83,
tu as bien fait de revenir sur cette question mais je pense que j'ai raison:
Le théorème suivant que je cite intégralement vient du Terracher 2002 (je pense que c'est une référence sûre)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et (Un) une suite de points de I.
Si lim Un = a lorsque n-->inf et lim f(x)= l lorsque x-->a alors lim f(Un) = l
ici I=]0;+inf[ (Un) =1/n est bien une suite de points de I
lim 1/n = 0 lorsque n-->inf et lim f(x)=1 lorsque x-->0 donc on a lim f(1/n) =1
En fait on n'a pas besoin de l'argument de continuité et on n'a pas utilisé f(0) (qui bien sûr n'était pas défini)
J'espère que c'est très clair.
J'aime bien quand on me demande de m'expliquer: je suis aussi un chercheur de la "vérité".
tu as bien fait de revenir sur cette question mais je pense que j'ai raison:
Le théorème suivant que je cite intégralement vient du Terracher 2002 (je pense que c'est une référence sûre)
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et (Un) une suite de points de I.
Si lim Un = a lorsque n-->inf et lim f(x)= l lorsque x-->a alors lim f(Un) = l
ici I=]0;+inf[ (Un) =1/n est bien une suite de points de I
lim 1/n = 0 lorsque n-->inf et lim f(x)=1 lorsque x-->0 donc on a lim f(1/n) =1
En fait on n'a pas besoin de l'argument de continuité et on n'a pas utilisé f(0) (qui bien sûr n'était pas défini)
J'espère que c'est très clair.
J'aime bien quand on me demande de m'expliquer: je suis aussi un chercheur de la "vérité".
par Vondie » 30 Déc 2005, 14:41
Re-bonjour,
you're wellcome et merci de ton merci; ça fait vraiment plaisir.
On sent une vraie communauté de pensée et donc d'humanisme.
J'ai volontairement ajouté le donc car je crois que de la pensée (à soi et au monde) doit nécessairement découler l'humanisme.
you're wellcome et merci de ton merci; ça fait vraiment plaisir.
On sent une vraie communauté de pensée et donc d'humanisme.
J'ai volontairement ajouté le donc car je crois que de la pensée (à soi et au monde) doit nécessairement découler l'humanisme.
par Anonyme » 30 Déc 2005, 15:02
attendais en fait il y a un truc qui me gêne un peu vous avez mis que lim f(1/n) =lim f(x) =1 qd x tends vers 0 mais là problème se serait pas plutot en plus l'infini ??? car pour la suite Vn la limite en 0 je m'en moque un peu non ??? en fait c'est galère et j'ai l'impression pourtant que c'est tout bêtepour le sens de variation de la suite Vn et sa limite bon ça je vais dire en gros que c'est l'inverse de la fonction f car Vn= f(1/n) or lim f(x)= lim f(1/n) = lim Vn ..
x-} +inf n-}+inf n-}0
Déjà j'espère que jusque là c'est bon
apres lim f(x) =lim Vn=1
x-}0 x-}+inf
donc là j'ai la limite de Vn en plus l'infinie=1
sens de variation ça oui je l'ai fait par la composé de la fonction f(1/n) 1/n est une fonction decroissante et f(x) est aussiune fonction decroissante de plus , elles sont continue et dérivable sur ]0,+inf[ donc la fonction f(1/n) est croissante donc Vn est croissante là je pense que c'est ok
Apres pour le quatre oui c'est bon je suis aussi passée par l'exponentielle
x-} +inf n-}+inf n-}0
Déjà j'espère que jusque là c'est bon
apres lim f(x) =lim Vn=1
x-}0 x-}+inf
donc là j'ai la limite de Vn en plus l'infinie=1
sens de variation ça oui je l'ai fait par la composé de la fonction f(1/n) 1/n est une fonction decroissante et f(x) est aussiune fonction decroissante de plus , elles sont continue et dérivable sur ]0,+inf[ donc la fonction f(1/n) est croissante donc Vn est croissante là je pense que c'est ok
Apres pour le quatre oui c'est bon je suis aussi passée par l'exponentielle
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