Suites TS

par **Anonyme** » 19 Déc 2005, 16:07

bonjour,j'aimerais qu'on m'aide pour cet exo, svp.

soit la suite (un) par u0=10 et par un+1=rac(un+6)

1)calculer u1,u2,u3, j'ai trouvé u1=4 u2=rac(10) u3=rac(rac10)+6)

2)déterminer une fonction telle que pour tout entier naturel n: un+1=f(un)
j'ai trouvé f(un)=f(x)=rac(x+6)

3)montrer que f admet un unique point fixe(tout solution de l'équation f(x)=x).le calculer
je ne sais pas comment le démontrer mais je pense que la solution est -6

4)montrer que pour tout entier nautrel :abs(un+1-3)<=1/3*abs(un-3)

5)montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel
abs(un-3)<=((1/3)^n)*abs(u0-3)

merci de me corriger et de m'aider pour les questions où je bloque.

par **Fract83** » 19 Déc 2005, 16:26

Hello,

Pour la question 3, tu veux montrer que f admet un unique point fixe, c'est a dire que tu dois montrer que l'equation f(x)=x admet une unique solution...

Comment faire ?

Tu as f(x) = rac(x+6). Donc, resoudre f(x)=x revient a resoudre rac(x+6)=x, ce qui revient a resoudre (a un pouiem pres, tu verras) rac(x+6)^2=x^2, ce qui revient a resoudre une equation du second degre (je te laisse trouver laquelle, c'est pas tres dur)...

Il ne te reste plus qu'a resoudre cette derniere equation... Et trouver le pouiem qui te permettras de dire que tu ne retiens qu'une des deux solutions de cette equation !

Bonne journee.

par **becirj** » 19 Déc 2005, 16:34

Bonjour
Les questions 1 et 2 sont correctes.
3. Il faut résoudre l'équation f(x)=x soit

.
Cette équation est équivalente à

( 2 nombres qui ont le même carré sont égaux ou opposés donc pour avoir une équation équivalente en élevant au carré il faut que les deux membres soient de même signe d'où la condition

)
Il suffit alors de résoudre l'équation du second degré et de conserver la solution positive).

par **becirj** » 19 Déc 2005, 16:45

4.

donc

Il reste à passer aux valeurs absolues dans l'égalité pour arriver au résultat demandé.

par **Anonyme** » 19 Déc 2005, 23:36

en fait, je ne comprends pas pourquoi tu as multiplié par (rac(un+6)-3) ?
je voulais aussi savoir si la suite était décroissante ou pas.
j'aurais dit décroissante d'après les calculs de u1 u2 u3 mais lorsque je trace la courbe de la fonction f et la droite y=x, je trouve qu'elle est croissante, est ce normal??

par **becirj** » 20 Déc 2005, 07:57

Bonjour
La technique qui a consisté à multiplier par

est courante : dans une somme où figure une racine carrée on peut multipler et diviser par l'expression conjuguée cela permet d'obtenir une autre écriture qui peut être plus commode à utiliser.

La fonction f est bien croissante mais la suite est décroissante on peut le démontrer par récurrence.

SI au rang n, on a

, la fonction f étant croissante conserve l'ordre (définition d'une fonction croissante) donc

soit

la propriété est bien héréditaire.
Graphiquement, si tu représentes les termes, on voit qu'ils décroissent et que la suite converge vers l'abscisse du point d'intersection de

et de la doite d'équation y=x c'est-à-dire vers 3

par **becirj** » 20 Déc 2005, 08:00