Suites

[donaldinio]

bonjour
Je cherhce a trouver un méthode simple est rapide pour:
Un suite numérique : U0=0 ; U(n+1) =(3U(n) +4)

-Montrer que Un est majorée par 4
-Montrer queUn est strictement décroissante.
-En déduire la convergeance de Un
-montrer que pour tout n : 4 - U(n+1) (inferieur ou égale) (1/2)(4-Un)

je veux juste la méthode , si il vous plait .
Merçi d'avance
PS: quelques conseil pour le TEX seraient aussi la bienvenue

[becirj]

Bonjour
majorée par 4 : une démonstration par récurrence s'impose.
décroissante : méthode classique le calcul de (penser à la quantité conjuguée)
convergente : théorème
Dernière propriété : une démonstration par récurrence.

[donaldinio]

Merçi beaucoup , j'ais réussi le debut mais je n'arrive pas a demontrer la dernière question pouriez vous m'aider

de plus , avec ce qui à été démontrer , puis-je dire directement que
Vn =n²(4-Un)
converge et tend vers 0 ?

[becirj]

Démonstration par récurrence de

Vérifié pour n=0
Supposons vérifié pour un rang n fixé :

donc .
Par conséquent
La propriété est donc vérifiée au rang suivant.

On ne peut pas dire directement que converge vers 0 , on a une forme indéterminée car tend vers l'infini.
On peut par contre démontrer que et utiliser les croissances comparées de