Ts suites

[Anonyme]

bonjour, je n'arrive pas à répondre à cette question :

la suite suivante est défini pour tout entier naturel n
x(0) = 3
x(n+1) = 2x(n) - 1 j'ai mis les indices entre ()

démontrer que quelque soit n entier naturel, on a la relation suivante : x(n) = 2^(n+1) + 1

indice : démonstration par récurrence

merci de m'aider

@+

[Vondie]

Bonjour,
si tu as assimilé le raisonnement par récurrence, c'est presque immédiat.
Et il intervient souvent, donc as regardé de près une fois pour toutes.

[becirj]

Premiére partie : amorce
la propriéré est vérifiée au rang 0

Deuxième partie : on montre que la propriété est héréditaire.
Supposons l'égalité vérifiée à un rang n fixé , c'est-à-dire et montrons que la propriété est vérifiée au rang n+1.

La propriété est donc vérifiée au rang n+1.

Conclusion : Par récurrence , quel que soit n,

[André]

Bonsoir !

Par récurrence !

Veux-tu une explication de la méthode par récurrence ? C'est très pratique pour les problèmes du genre "montrer que pour tout n entier naturel, u(n) = ..."

Je vais illustrer mon explication avec ce pb.

Là, c'est simple... Pour faire plaisir au prof, on écrit d'abord :
"Montrons par récurrence que qqsoit n >= 0 :
x(n) = 2^(n+1) + 1 (HR(n))"
HR(n) veut dire "hypothèse de récurrence pour l'entier n"

Ensuite, c'est le plus simple, on montre que c'est vrai pour la plus petite valeur de n : n = 0, ici.
On sait que x(0) = 3
On voit bien que 2^(0+1) + 1 = 3
Donc l'hypothèse de récurrence est vérifiée pour n = 0 (HR(0))

La méthode trouve son intérêt par la suite : il s'agit de montrer que HR(n) => HR(n+1). Donc sachant que x(n) = 2^(n+1) + 1, on doit montrer que x(n+1) = 2x(n) - 1 = 2^((n+1)+1) + 1.
A quoi ça sert ? On a vérifié HR(0). Comme on sait que HR(n) => HR(n+1) pour tout n entier, avec n = 0, on a alors HR(0) => HR(1). Donc HR(1) est vérifiée. De même HR(1) est vérifié donc HR(2) aussi, puis HR(3)... bref pour tout n entier !

Le plus dur reste donc de montrer que HR(n) => HR(n+1).
Nous supposons que x(n) = 2^(n+1) + 1 (HR(n))
Calculons x(n+1) :
x(n+1) = 2x(n) - 1 = 2*(2^(n+1) + 1) - 1 (HR(n))
x(n+1) = 2*2^(n+1) + 2 -1 = 2^(n+2) + 1
x(n+1) = 2^((n+1)+1) +1 : HR(n+1) est vérifié si on suppose HR(n) vérifié

Donc... CQFD !

[Anonyme]

salut !

merci beaucoup, j'avais réussi la deuxième partie du raisonnement, mais je bloquais pour le rang initial, mais en fait il n'y avais aucune raison ! je me compliquais la vie !

en tout cas, c'est super sympa à vous de m'avoir aidé merci beaucoup

à la prochaine !