Suites

[alex59]

Voici un autre exercice que j'ai bien du mal à resoudre...
En esperant que vous pouvez m'aider!
Merci d'avance.

L'évolution d'une population de coccinelles est modélisée de la facon suivante:
on admet que le nombre de coccinelles est inférieur à 1 million.
L'effectif des coccinelles, exprimé en millions d'individus est approché pour l'année n par un nombre réel Un compris entre 0 et 1.
On admet que l'évolution d'une année sur l'autre obéit à la relation
U(n+1)=f(Un) où f est la fonction definie sur [0;1] par f(x)=(1.6x)(1-x).
On note Uo la population initiale en millions d'individus
Quelle est l'évolution de la population si Uo=0375? Ici,jai trouvé que la population restait la meme

1)Etudiez les variations de la fonction f sur [0;-1]et tracez, dans un meme repere, la courbe C representative de f et de la droite(D) d'équation y=x

2)Quelles conjonctures pouvez vous faire sur le sens de variation de la suite et sur la convergence de la suite?

3)En utilisant de variations de f , démontrez par recurrence que , pour tout n appartenant a N :
a)Un appartient a [(3/8);(1/2)] b)U(n+1)<=Un

4) a)Démontrez que pour tout n app N ,1-(8/5)Un app [0;0.4]

b)Verifiez que , pour tout n app N , U(n+1)-(3/8)=(Un-(3/8))(1-(8/5)Un)

c)Deduisez en que pour tout n app N, 0<=U(n+1)-3/8<=0.4(Un-(3/8))

5)En utilisant le resultat du 4)c), démontrez par récurrence que, pour tout n app N, 0<=Un-(3/8)<=(0.4^n)0.005

Quelle est la limite de la suite (Vn) de terme général Vn=[(0.4)^n]0.005?
Deduisez en la limite de Un

Merci beaucoup d'avance!!

[busard_des_roseaux]

Bjr,

il s'agit de montrer que des encadrements sont héréditaires.

vérifier pour l'indice n=0 et récurrer.

A la fin, moins sa limite, est une suite géométrique
de raison q, 0<q<1.
Elle est donc convergente