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par **lilo** » 12 Mar 2008, 16:41

Bonjour,J'ai un devoir à rendre,et je bloque sur certaine question,voilà l'énoncé:
Soit I l'intervalle [O;1].On considère la fonction f définie sur I par f(x)=(3x+2)/(x+4)
On considère la suite (Un) définie par U0=0 et U(n+1)= (3Un+2)/(Un+4).On propose d'étudier la suite (Un) par deux methodes différente.

1-Etudier les variations de f et en déduire que pour tout x élément de I f(x) appartient à I.
==> J'ai fais: f'(x)=10/(x+4)² ,elle est positive entre O et 1,et donc f(x) est croissante.

2-Montrer que pour tout n,Un appartient à I.
==> Comment faire?

Premiere methode
3-(a) Etablir la relation U(n+1)-Un=[(1-Un)(Un+2)]/(Un+4)et en déduire le sens de variation de la suite (Un).
==> Un+1 - Un= (3Un+2-3U(n-1)-2)/(U(n-1)+4]=[3Un-3u(n-1)]/[U(n-1)+4]=[3(Un-U(n-1))]/(U(n-1)+4) Et je ne trouve pas le même résultat!!!Pour étudier le sens de variation,comment est-ce-qu'il faut faire,car on ne peut pas la dérivée!!

(b) Démontere que la suite (Un) est convergente.
==> Comment étudier la limite Un=[ 3U(n+1)+2 ]/(U(n-1)+4] ?

(c) Prouver que la limite l de la suite (Un) vérifie l=f(l) et calculer l.

4-Deuxième methode

On considère la suite (Vn) défnie par Vn=(Un-1)/(Un+2)
(a) Prover que (Vn) est une suite géométrique de raison 2/5
==> Pour démontrer que C'est géométrique il faut faire V(n+1)/Vn,mais j'y arrive pas.

(b) Calculer V0 et exprimer Vn en fonction de n
==> V0=-1/2 et Vn=-1/2 * (2/5)^n

(c) Exprimer Un en fonction de Vn,puis en fonction de n
==> J'ai un problèeme à cette question

(d) En déduire la convergence de la suite (Un) et sa limite.
==> Je ne connais pas Un pour trouver la convergence...

Merci d'avance

par **lilo** » 12 Mar 2008, 17:27

Quelqu'un peut m'aider svp :triste:

par **Noemi** » 12 Mar 2008, 17:33

Pour la question 2, indique sur quel intervalle varie la fonction f.

par **lilo** » 12 Mar 2008, 17:38

Dans l'énoncé ils l'ont déjà préciser elle est comprise entre 0 et 1.

par **Noemi** » 12 Mar 2008, 17:41

C'est x qui varie entre 0 et 1 et f(x) ?

Question 3 : Exprime U(n+1) - U(n) en fonction de U(n)

par **lilo** » 12 Mar 2008, 18:20

f(0) = 1/2 et f(1)=1 Donc ça appartient bien à l'intervalle I.

par **lilo** » 12 Mar 2008, 18:21

Noemi a écrit:C'est x qui varie entre 0 et 1 et f(x) ?

Question 3 : Exprime U(n+1) - U(n) en fonction de U(n)

J'ai fais ça,mais je ne trouve pas le même résultat!

par **Noemi** » 12 Mar 2008, 18:25

Pour exprimer U(n+1) - U(n) en fonction de U(n), remplace U(n+1) par son expression en fonction de U(n) puis réduis au même dénominateur.

par **lilo** » 12 Mar 2008, 18:31

Un+1 - Un= (3Un+2-3U(n-1)-2)/(U(n-1)+4]=[3Un-3u(n-1)]/[U(n-1)+4]=[3(Un-U(n-1))]/(U(n-1)+4) Et je ne trouve pas le même résultat

par **lilo** » 12 Mar 2008, 18:37

Ah non,donc ça fait:
(3Un+2-Un(Un+4))/(Un+4)=(3Un+2Un²-4Un)/(Un+4)=(2Un²-Un)/(Un+4)=[Un(2Un-1)]/(Un+4)
:triste:

par **Noemi** » 12 Mar 2008, 18:42

(3Un+2-Un(Un+4))/(Un+4)=(3Un+2-Un²-4Un)/(Un+4)
= (-Un²-Un+2)/(Un+4)

Il reste à factoriser le numérateur.

par **lilo** » 12 Mar 2008, 18:54

Ah oui ça donne bien ça Merci :we: Et pour etudier me sens de variation j'ai fais un tableau de signe:
-oo -4 -2 1 +oo
(1-Un) + + + -
(2+Un) - - + +
(1-Un)(Un+2) + - + -
x+4 - - - +
LA FONCTION + - - +

Elle Augmente puis diminue pour ensuite réaugmenter.

par **Noemi** » 12 Mar 2008, 20:16

L'étude des variations est à faire sur l'intervalle [0;1].

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