Suites

[anaël]

Bonjour à tous, quelqu'un peut m'aider ? Je viens de commencer le chapitre sur les suites et j'ai un peu de difficulté.

On considère la suite (Un) définie par: Uo=1 et pour tout entier naturel n, Un+1=5Un-1/4Un+1

1) Calculer U1, U2 et U3. En déduire que (Un) n'est ni aritmétique ni géométrique.

2) on considère la suite (Vn) définie par Vn=1/(Un-1/2)
Démontrer que (Vn) est une suite arithmétique. Préciser le terme général pour le calcul de Vn.

3) En déduire le terme général pour le calcul de Un.


Merci d'avance.

[evilangelium]

U(n+1) = (5*Un - 1) / (4*Un + 1)
c'est plus beau avec des parenthèses et des espaces..

suite définie par récurrence donc
pour les premiers termes, remplace n par 0 pour utiliser U0 que tu connais pour connaitre U1 et répète l'opération jusqu'à n = 2
vérifie si chaque terme se déduit du précédent par ajout ou multiplication d'une constante

Vn = 1 / (Un - 1/2)
on pose cette suite adjacente pour calculer de facon fonctionnelle la suite (Un)
V(n+1) = 1 / (U(n+1) - 1/2)

... là je bloque, ou bien c'est moi, ou bien l'expression de mon U(n+1) est incorrecte

pour continuer, on doit trouver
V(n+1) = Vn + r
(Vn) est une suite arithmétique donc
Vn = n*r + V0
V0 = 1 / (U0 - 1/2) = 2

Vn = 1 / (Un - 1/2)
soit Un = 1/Vn + 1/2
ce qui permet d'avoir (Un) sous forme fonctionnelle

[anaël]

J'ai toujours pas compris, est ce que quelqu'un peut m'aider ?

Merci beaucoup

[danskala]

salut,

la suite Un est appelée "suite récurrente" car le terme U1 se calcule à partir du terme U0 ; le terme U2 se calcule à partir du terme U1 ... le terme U(n+1) se calcule à partir du terme précédent, c'est-à-dire Un.

Ainsi U1=(5*U0-1)/(4*U0+1)=(5*1-1)/(4*1+1)=4/5=0,8

U2=(5*U1-1)/(4*U1+1)=(5*0,8-1)/(4*0,8+1)=3/4,2=0,71428...

Tu as donc
U0=1
U1=0,8
U2=0,71428...

Si Un était arithmétique, on passerait d'un terme au terme suivant en ajoutant (ou soustrayant) le même nombre
Pour passer de U0 à U1 on retranche 0,2 ce qui n'est pas le cas pour passer de U1 à U2.
Donc Un n'est pas arithmétique.

Si Un était géométrique, on passerait d'un terme au terme suivant en multipliant (ou divisant) par le même nombre.
Pour passer de U0 à U1 on multiplie par 0,8 ce qui n'est pas le cas pour passer de U1 à U2.
Donc Un n'est pas géométrique.


Pour montrer que Vn est arithmétique il faut montrer qu'il existe un certain nombre r (fixe) tel que pour tout n, V(n+1)=V(n) +r
Pour montrer cela:
tu peux former V(n+1)-V(n) et montrer que cette différence est constante (ne dépend pas de n)
ou
tu peux partir de V(n+1) et, après transformations, essayer de te rapprocher de V(n) + une constante.

Je forme V(n+1)-V(n):
V(n+1)-V(n)=
=1/(U(n+1)-1/2) - 1/(Un-1/2)
=1/[(5Un-1)/(4Un+1)-1/2] - 1/(Un-1/2)
=1/[(2*(5Un-1)/2*(4Un+1)-1*(4Un+1)/2*(4Un+1)] - 1/(Un-1/2)
=1/[(10Un-2-4Un-1)/(8Un+2)] - 1/(Un-1/2)
=(8Un+2)/(10Un-2-4Un-1) - 1/(Un-1/2)
=(8Un+2)/(6Un-3) - 1/(Un-1/2)
=(8Un+2)/(6Un-3) - 1*6/(Un-1/2)*6
=(8Un+2)/(6Un-3) - 6/(6Un-3)
=(8Un+2-6)/(6Un-3)
=(8Un-4)/(6Un-3)
=8(Un-1/2)/6(Un-1/2)
=8/6=4/3

Donc V(n+1)-V(n)=4/3
d'où V(n+1)=V(n)+4/3 et V(n) est bien arithmétique.

Par conséquent, V(n)=V(0)+4/3*n
mais V(0)=1/(U(0)-1/2)=1/(1-1/2)=2 donc V(n)=2+4/3*n

A partir de la relation Vn=1/(Un-1/2) tu exprimes Un en fonction de Vn:
Un=1/2+1/Vn
D'où Un=1/2+1/(2+4/3*n) qui après transforamation donne

Un=(3+n)/(3+2n)

On vérifie pour n=0,1,2 qu'on retrouve bien les calculs du début de l'exercice.
(3+0)/(3+2*0)=3/3=1=U0
(3+1)/(3+2*1)=4/5=U1
(3+2)/(3+2*2)=5/7=3/4,2=U2 (Ouf !)

Bye.

[anaël]

Bonjour DANSCALA pouvez vous m'expliquer comment trouvez vous: Un=(3+n)/(3+2n) car après avoir fait le calcul je ne trouve pas cela

Merci de me répondre

A partir de la relation Vn=1/(Un-1/2) tu exprimes Un en fonction de Vn:
Un=1/2+1/Vn
D'où Un=1/2+1(2+4/3*n) qui après transforamation donne

Un=(3+n)/(3+2n)

[danskala]

Salut,

Un=1/2+1/(2+4/3*n)
=1/2+(3*1)/(3*(2+4/3*n))
=1/2+3/(6+4n)
=[1*(6+4n)+3*2]/(2*(6+4n))
=(12+4n)/(12+8n)
=[4(3+n)]/[4(3+2n)]
=(3+n)]/(3+2n)

Bye.