TS : Suites

[Anonyme]

Soit I un intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I,
par f(x) = (3x+2) / (x+4)

1. Etudier les variations de f et en déduire, que pour tout x de I, f(x)
appartient à I.

2. On considère la suite (Un) définie par :
U0 =0
U(n+1) = (3Un+2) / (Un+4)

Montrer que quelque soit n, Un appartient à I.

On se propose d'étudier la suite (Un) par 2 méthodes différentes.
3.a. Représenter graphiquement f dans un repère orthonormal d'unité
graphique 10 cm.
3.b. En utilisant le graphique précédent, placer les points A0, A1, A2,
A3 d'ordonnée nulle et d'abcisses respectives U0, U1, U2, U3.

3.c. Etablir la erlation U(n+1) - Un = (1-Un)(Un+2) / (Un+4)
Et en déduire le sens de variation de la suite (Un)

3.d. Démontrer que la suite Un est convergente.
3.e. Déterminer la limite de la suite Un.


4. On consièdre la suite Vn définie par Vn = (Un -1) / (Un+2)

4.a. Prouver que la suite Vn est une suite géométrique de raison 2/5
4.b. Caclculer V0 et exprimer Vn en fonction de n.
4.c. Exprimer Un en fonction de Vn puis en fonction de n.
4.d. En déduire la convergence de la suite Un et sa limite.



1.a. f'(x) = 10 / (x+4)²

f'(x) >0 <=> x> -4

x____|_-4____0__________1____
f'(x)|__||_______+___________
f(x) | || | croissant


f(0) = 1/2
f(1) = 1

f est strictement croissant sur I. Donc 1/2 =< f(x) =< 1 (avec x € I).
On a bien, quelque soit x de I, f(x) appartenant à I.

2. Méthode par réurrence :

Initialisation :
U0 =0
L'hypothèse est vérifiée pour le premier terme.

H.R:
On suppose qu'il existe n tel que Un € I

Hérédité :
On montre qu'il existe n tel que U(n+1) € I

Je commence en faisant d'après H.R :
0 =< Un =< 1

Mais au final, je me retrouve avec
2/(Un +4) =< U(n+1) =< 5/(Un +4)

Je ne sais pas vraiment comment faire.

3.
U(n+1) - Un = (-Un² - Un +2) /(Un +4)

(3Un+2) / (Un+4) = (-Un² - Un +2) /(Un +4)


De là, on peut dire que Un = (Un² + 4Un) /(Un +4)

n_|__-oo____-4____________0_______+oo__
__|____+____O______-______O___+_____
|croissant| décroissant | croissant


Mais ce n'est pas très net, ee ne suis aps sûr.

3.d.

3.e.

4.
V(n+1) = 2(Un-1) / 5(Un+2)

V(n+1) / Vn = 2/5

V0 = -1/2
Vn = (-1/2)*(2/5)^n

Pour les deux expressions suivantes, je coince un peu :
Un = Vn.Un -2Vn +1

Un = ((-1/2)*(2/5)^n) (Un +2) +1


Merci.

[Anonyme]

Alexandre a écrit:
> Soit I un intervalle [0 ; 1]. On considère la fonction f définie sur I,
> par f(x) = (3x+2) / (x+4)
>
> 1. Etudier les variations de f et en déduire, que pour tout x de I, f(x)
> appartient à I.
>
> 2. On considère la suite (Un) définie par :
> U0 =0
> U(n+1) = (3Un+2) / (Un+4)
>
> Montrer que quelque soit n, Un appartient à I.

[...]

> 1.a. f'(x) = 10 / (x+4)²
>
> f'(x) >0 x> -4

non deux fois
non car f n'est défnie que sur [0,1] et que donc cela n'a pas de sens de
parler de f(-2) par exemple.
non parce que même sur R-{4} c'est faux

>
> x____|_-4____0__________1____
> f'(x)|__||_______+___________
> f(x) | || | croissant
>
>
> f(0) = 1/2
> f(1) = 1
>
> f est strictement croissant sur I. Donc 1/2 = On a bien, quelque soit x de I, f(x) appartenant à I.
>
> 2. Méthode par réurrence :
>
> Initialisation :
> U0 =0
> L'hypothèse est vérifiée pour le premier terme.
>
> H.R:
> On suppose qu'il existe n tel que Un € I
>
> Hérédité :
> On montre qu'il existe n tel que U(n+1) € I

Je ne suis peut-être pas assez patient, mais j'ai l'impression que on/je
est déjà souvent revenu sur ton erreur dans la formulation de la
récurrence. Mais si tu ne fais pas l'effort de lire et comprendre ce que
l'on te dit (et poser des questions si tu ne comprends pa)s, tu n'y
arrivera pas.
http://minilien.com/?EDdqkf4o3F
ou si tu préfères (le premier que j'ai trouvé)
http://www.animath.fr/cours/recurrence.html

>
> Je commence en faisant d'après H.R :
> 0 =
> Mais au final, je me retrouve avec
> 2/(Un +4) =< U(n+1) =< 5/(Un +4)

Utilises plutôt la question 1...

--
albert