Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0< a < b.
On définit les suites (Un) et (Vn) par:
U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
4. A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la limite des suites (Un) et (Vn)
5 Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
(Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels.
1.
Je pense qu'il faut utiliser la récurrence:
Initialisation:
U0 = a >0
V0 = b >0
Donc l'hypothèse est vérifiée pour les premiers termes.
Hypothèse de récurrence (H.R):
On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0
Hérédité:
On montre qu'il existe n appartenant à N tel que U(n+1) >0 et V(n+1) >0
D'après H.R:
1) Un >0 et Vn >0
Donc:
Un.Vn >0
2Un.Vn >0
2Un.Vn /(Un + Vn) >0
U(n+1) >0
Donc la suite Un est strictement positive.
2) Vn >0 et Un >0
Donc:
Un + Vn >0
(Un + Vn)/2 >0
Donc la suite Vn est strictement positive.
2.
Wn = Vn - Un
W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
= (Un - Vn)² / 2(Un + Vn) >0
(Mais je n'arrive pas à trouver la seconde partie)
3.
Les suites sont adjacentes si l'une d'elle est croissante, l'autre
décroissante, et que la différence de leur limite tend vers 0:
lim (Un - Vn) = 0
x -> +oo
Ici, Je n'arrive pas à démontrer qu'une d'elle est croissante, l'autre
décroissante.
4.
lim Un = Lim Vn
n -> oo
Il faut résoudre l'équation
5. ?
Ts: Suites
13 messages
- Page 1 sur 1
Re: Ts: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:17
Alexandre a écrit:
> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>
> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>
> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
> 4. A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la limite des suites (Un) et (Vn)
> 5 Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
> (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels.
>
>
> 1.
> Je pense qu'il faut utiliser la récurrence:
> Initialisation:
> U0 = a >0
> V0 = b >0
> Donc l'hypothèse est vérifiée pour les premiers termes.
>
> Hypothèse de récurrence (H.R):
> On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0
>
> Hérédité:
> On montre qu'il existe n appartenant à N tel que U(n+1) >0 et V(n+1) >0
non ! (car il suffirait de prendre n'=n-1)
la formulation correcte est : "on le montre alors au rang n+1". Et ce
n'est pas juste uen questiond e formulation (mais je pense cependant que
tu as compris le principe de la récurence)
> D'après H.R:
> 1) Un >0 et Vn >0
> Donc:
> Un.Vn >0
> 2Un.Vn >0
> 2Un.Vn /(Un + Vn) >0
> U(n+1) >0
>
> Donc la suite Un est strictement positive.
>
> 2) Vn >0 et Un >0
> Donc:
> Un + Vn >0
> (Un + Vn)/2 >0
>
> Donc la suite Vn est strictement positive.
>
> 2.
> Wn = Vn - Un
>
> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn) >0
>
> (Mais je n'arrive pas à trouver la seconde partie)
quelle est la question ? montrer que la suite Wn est toujours positive ?
Dans ce cas il faut également le vérifier pour W0
>
> 3.
> Les suites sont adjacentes si l'une d'elle est croissante, l'autre
> décroissante, et que la différence de leur limite tend vers 0:
> lim (Un - Vn) = 0
> x -> +oo
>
> Ici, Je n'arrive pas à démontrer qu'une d'elle est croissante, l'autre
> décroissante.
Essayes d'exprimer Un+1 - Un en fonction de Wn (et éventuellemnt de
termes multiplicatifs dont tu connais le signe). idem avec Vn (c'est un
plus facile pour celle là).
> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>
> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>
> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
> 4. A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la limite des suites (Un) et (Vn)
> 5 Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
> (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels.
>
>
> 1.
> Je pense qu'il faut utiliser la récurrence:
> Initialisation:
> U0 = a >0
> V0 = b >0
> Donc l'hypothèse est vérifiée pour les premiers termes.
>
> Hypothèse de récurrence (H.R):
> On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0
>
> Hérédité:
> On montre qu'il existe n appartenant à N tel que U(n+1) >0 et V(n+1) >0
non ! (car il suffirait de prendre n'=n-1)
la formulation correcte est : "on le montre alors au rang n+1". Et ce
n'est pas juste uen questiond e formulation (mais je pense cependant que
tu as compris le principe de la récurence)
> D'après H.R:
> 1) Un >0 et Vn >0
> Donc:
> Un.Vn >0
> 2Un.Vn >0
> 2Un.Vn /(Un + Vn) >0
> U(n+1) >0
>
> Donc la suite Un est strictement positive.
>
> 2) Vn >0 et Un >0
> Donc:
> Un + Vn >0
> (Un + Vn)/2 >0
>
> Donc la suite Vn est strictement positive.
>
> 2.
> Wn = Vn - Un
>
> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn) >0
>
> (Mais je n'arrive pas à trouver la seconde partie)
quelle est la question ? montrer que la suite Wn est toujours positive ?
Dans ce cas il faut également le vérifier pour W0
>
> 3.
> Les suites sont adjacentes si l'une d'elle est croissante, l'autre
> décroissante, et que la différence de leur limite tend vers 0:
> lim (Un - Vn) = 0
> x -> +oo
>
> Ici, Je n'arrive pas à démontrer qu'une d'elle est croissante, l'autre
> décroissante.
Essayes d'exprimer Un+1 - Un en fonction de Wn (et éventuellemnt de
termes multiplicatifs dont tu connais le signe). idem avec Vn (c'est un
plus facile pour celle là).
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:17
pour 3)
décroissance de (un)
0=0)
don un+1
croissance de (vn)
un + vn >=2vn
donc vn+2>=vn
donc on a toutes les conditons pour que les suites soient adjacentes
donc d'arpès le théorème, elles convergent toutes les deux vers une limite l
4) soient (zn)=(un*vn)
on a pour tout n zn+1=zn
(zn) est donc une suite constante valant ab
par unicité de la limite dans l'expression de un+1
l=ab/l
l=sqrt(ab)
(sqrt pour racine carrée)
5)
il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2
donc il faut essayer mais je sais pas si y'a plus joli?
décroissance de (un)
0=
don un+1
croissance de (vn)
un + vn >=2vn
donc vn+2>=vn
donc on a toutes les conditons pour que les suites soient adjacentes
donc d'arpès le théorème, elles convergent toutes les deux vers une limite l
4) soient (zn)=(un*vn)
on a pour tout n zn+1=zn
(zn) est donc une suite constante valant ab
par unicité de la limite dans l'expression de un+1
l=ab/l
l=sqrt(ab)
(sqrt pour racine carrée)
5)
il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2
donc il faut essayer mais je sais pas si y'a plus joli?
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
J'ai sauté une ligne. Voici l'énoncé:
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 00 et Vn >0.
Question 2:
Je développe W(n+1):
W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
= (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
Donc W(n+1) >0
Mais je n'arrive pas à faire la suite.
Question 3:
>décroissance de (un)
>0=0)
>don un+1
>croissance de (vn)
>un + vn >=2vn
>donc vn+2>=vn
Je n'arrive pas à trouver ça:
0=0)
Je pars de ce qu'on doit démonter à la question 2 mais je ne trouve pas ça.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 00 et Vn >0.
Question 2:
Je développe W(n+1):
W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
= (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
Donc W(n+1) >0
Mais je n'arrive pas à faire la suite.
Question 3:
>décroissance de (un)
>0=0)
>don un+1
>croissance de (vn)
>un + vn >=2vn
>donc vn+2>=vn
Je n'arrive pas à trouver ça:
0=0)
Je pars de ce qu'on doit démonter à la question 2 mais je ne trouve pas ça.
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
Alexandre a écrit:
> J'ai sauté une ligne. Voici l'énoncé:
>
> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>
> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>
> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
>
> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
> Démontrer que 0= entier naturel n, on a 0=
> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
> Pour l'hérédité de la question 1 je dois dire (?):
> On montre qu'il existe (n+1) appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0.
Alors visiblement tu n'as pas compris le principe de récurence.
L'idée est la suivante : si la propriété est vrai pour un n0, et que si
(elle est vrai pour un n >= n0) => (elle est vraie pour n+1), alors la
propriété est vrai sur les entiers >= n0. en effet puisque elle est vrai
poue n0, d'après la deuxième partie elle est vrai pour n0+1. Mais comme
elle est vraie pour n0+1 elle est vraie pour (n0+1)+1 = n0+2. etc...
c'est pas très rigoureux mais c'est l'idée. Tout ca pour dire que ce
n'est pas pour *un* n+1, car ca ne veut rien dire... je peux prendre
n=0, n+1=1, c'est *un* n+1 et ca marche ...
L'hérédit c'est : "si la proposition est vraie pour un n >= n0, alors
elle est vraie pour n+1" ou encore "on suppose que la prop. est vraie
pour un n >= n0, on montre qu'elle est vraie pour n+1"
>
> Question 2:
> Je développe W(n+1):
> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
>
> Donc W(n+1) >0
On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un) =
> Mais je n'arrive pas à faire la suite.
>
> Question 3:
>
> >décroissance de (un)
> >0=0)
> >don un+1 >
> >croissance de (vn)
> >un + vn >=2vn
> >donc vn+2>=vn
>
>
> Je n'arrive pas à trouver ça:
> 0=0)
>
> Je pars de ce qu'on doit démonter à la question 2 mais je ne trouve pas ça.[/color]
Que vaut V(n+1) - Vn ?
Que vaut U(n+1) - Un ?
> J'ai sauté une ligne. Voici l'énoncé:
>
> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0 On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>
> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>
> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
>
> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
> Démontrer que 0= entier naturel n, on a 0=
> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
> Pour l'hérédité de la question 1 je dois dire (?):
> On montre qu'il existe (n+1) appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0.
Alors visiblement tu n'as pas compris le principe de récurence.
L'idée est la suivante : si la propriété est vrai pour un n0, et que si
(elle est vrai pour un n >= n0) => (elle est vraie pour n+1), alors la
propriété est vrai sur les entiers >= n0. en effet puisque elle est vrai
poue n0, d'après la deuxième partie elle est vrai pour n0+1. Mais comme
elle est vraie pour n0+1 elle est vraie pour (n0+1)+1 = n0+2. etc...
c'est pas très rigoureux mais c'est l'idée. Tout ca pour dire que ce
n'est pas pour *un* n+1, car ca ne veut rien dire... je peux prendre
n=0, n+1=1, c'est *un* n+1 et ca marche ...
L'hérédit c'est : "si la proposition est vraie pour un n >= n0, alors
elle est vraie pour n+1" ou encore "on suppose que la prop. est vraie
pour un n >= n0, on montre qu'elle est vraie pour n+1"
>
> Question 2:
> Je développe W(n+1):
> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
>
> Donc W(n+1) >0
On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un) =
> Mais je n'arrive pas à faire la suite.
>
> Question 3:
>
> >décroissance de (un)
> >0=0)
> >don un+1 >
> >croissance de (vn)
> >un + vn >=2vn
> >donc vn+2>=vn
>
>
> Je n'arrive pas à trouver ça:
> 0=0)
>
> Je pars de ce qu'on doit démonter à la question 2 mais je ne trouve pas ça.[/color]
Que vaut V(n+1) - Vn ?
Que vaut U(n+1) - Un ?
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
>> J'ai sauté une ligne. Voici l'énoncé:[color=green]
>>
>> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0> On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>>
>> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
>> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>>
>> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
>>
>> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
>> Démontrer que 0=> entier naturel n, on a 0=>
>> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
>
>
>> Pour l'hérédité de la question 1 je dois dire (?):
>> On montre qu'il existe (n+1) appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0.
>
>
>> Question 2:
>> Je développe W(n+1):
>> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
>> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
>>
>> Donc W(n+1) >0
>
>
> On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
> Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un) = 1, je te laisse le vérifier. La question suivante se fait par récurence.[/color]
W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
Wn >à => Vn - Un >0 => Vn > Un
=> (Vn - Un) (Vn-Un) / (Vn+Un) = Question 3:
>>[color=darkred]
>> >décroissance de (un)
>> >0=0)
>> >don un+1> >
>> >croissance de (vn)
>> >un + vn >=2vn
>> >donc vn+2>=vn[/color]
>
> Que vaut V(n+1) - Vn ?[/color]
(Vn + Un) /2 - Vn = (Vn + Un-2.Vn) /2 = (Un - Vn) /2
Donc V(n+1) - Vn V(n+1)
Donc Vn croissant
> Que vaut U(n+1) - Un ?
(2 Un.Vn)/ (Un + Vn) - Un = (Un.Vn - (Un)²) / (Un + Vn)
Vn > Un
=> Un.Vn > (Un)²
=> U(n+1) - Un >0
Donc U(n+1) > Un
Donc Un décroissant
Donc Un et Vn sont adjacentes (ou j'ai sauté une étape ?)
Merci
>>
>> Soit a et b deux nombres réels vérifiant 0> On définit les suites (Un) et (Vn) par:
>>
>> U0 = a et pour tout n de N, U(n+1) = 2Un.Vn / (Un + Vn)
>> V0 = b et pour tout n de N, V(n+1) = (Un + Vn) / 2
>>
>> 1. Vérifier qque (Un) et (Vn) sont strictement positives.
>>
>> 2. On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
>> Démontrer que 0=> entier naturel n, on a 0=>
>> 3. Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes.
>
>
>> Pour l'hérédité de la question 1 je dois dire (?):
>> On montre qu'il existe (n+1) appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0.
>
>
>> Question 2:
>> Je développe W(n+1):
>> W(n+1) = [(Un + Vn) / 2] - [2Un.Vn / (Un + Vn)]
>> = (Un - Vn)² / 2(Un + Vn)
>>
>> Donc W(n+1) >0
>
>
> On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
> Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un) = 1, je te laisse le vérifier. La question suivante se fait par récurence.[/color]
W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
Wn >à => Vn - Un >0 => Vn > Un
=> (Vn - Un) (Vn-Un) / (Vn+Un) = Question 3:
>>[color=darkred]
>> >décroissance de (un)
>> >0=0)
>> >don un+1> >
>> >croissance de (vn)
>> >un + vn >=2vn
>> >donc vn+2>=vn[/color]
>
> Que vaut V(n+1) - Vn ?[/color]
(Vn + Un) /2 - Vn = (Vn + Un-2.Vn) /2 = (Un - Vn) /2
Donc V(n+1) - Vn V(n+1)
Donc Vn croissant
> Que vaut U(n+1) - Un ?
(2 Un.Vn)/ (Un + Vn) - Un = (Un.Vn - (Un)²) / (Un + Vn)
Vn > Un
=> Un.Vn > (Un)²
=> U(n+1) - Un >0
Donc U(n+1) > Un
Donc Un décroissant
Donc Un et Vn sont adjacentes (ou j'ai sauté une étape ?)
Merci
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
Alexandre a écrit:
[color=green]
>> On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
>> Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un)
>> => récurence.
>
>
> W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
>
> Wn >O => Vn - Un >0 => Vn > Un
> => (Vn - Un) => (Vn-Un) / (Vn+Un) =
> Donc 0 =
> (On cherche 0= part, mais où ?)[/color]
relis, tu devrais la trouver (ce n'est que 4 lignes)
[color=green]
>> Que vaut V(n+1) - Vn ?
>
> (Vn + Un) /2 - Vn = (Vn + Un-2.Vn) /2 = (Un - Vn) /2
>
> Donc V(n+1) - Vn V(n+1)
> Donc Vn croissant
>
>> Que vaut U(n+1) - Un ?
>
> (2 Un.Vn)/ (Un + Vn) - Un = (Un.Vn - (Un)²) / (Un + Vn)
>
> Vn > Un
> => Un.Vn > (Un)²
> => U(n+1) - Un >0
> Donc U(n+1) > Un
> Donc Un décroissant
>
> Donc Un et Vn sont adjacentes (ou j'ai sauté une étape ?)[/color]
et aussi car Un-Vn -> 0.
[color=green]
>> On a W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
>> Pour obtenir la majoration souhaitée il suffit que (Vn-Un) / (Vn+Un)
>> => récurence.
>
>
> W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
>
> Wn >O => Vn - Un >0 => Vn > Un
> => (Vn - Un) => (Vn-Un) / (Vn+Un) =
> Donc 0 =
> (On cherche 0= part, mais où ?)[/color]
relis, tu devrais la trouver (ce n'est que 4 lignes)
[color=green]
>> Que vaut V(n+1) - Vn ?
>
> (Vn + Un) /2 - Vn = (Vn + Un-2.Vn) /2 = (Un - Vn) /2
>
> Donc V(n+1) - Vn V(n+1)
> Donc Vn croissant
>
>> Que vaut U(n+1) - Un ?
>
> (2 Un.Vn)/ (Un + Vn) - Un = (Un.Vn - (Un)²) / (Un + Vn)
>
> Vn > Un
> => Un.Vn > (Un)²
> => U(n+1) - Un >0
> Donc U(n+1) > Un
> Donc Un décroissant
>
> Donc Un et Vn sont adjacentes (ou j'ai sauté une étape ?)[/color]
et aussi car Un-Vn -> 0.
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
> W(n+1) = Wn * (Vn-Un)/ 2(Un+Vn)
>
> Wn >O => Vn - Un >0 => Vn > Un
> => (Vn - Un) => (Vn-Un) / (Vn+Un) => Que vaut V(n+1) - Vn ?
>
> (Vn + Un) /2 - Vn = (Vn + Un-2.Vn) /2 = (Un - Vn) /2
>
> Donc V(n+1) - Vn V(n+1)
> Donc Vn croissant
>
>
>> Que vaut U(n+1) - Un ?
>
> (2 Un.Vn)/ (Un + Vn) - Un = (Un.Vn - (Un)²) / (Un + Vn)
>
> Vn > Un
> => Un.Vn > (Un)²
> => U(n+1) - Un >0
> Donc U(n+1) > Un
> Donc Un décroissant
> et car lim (Un-Vn) -> 0.
> n -> +oo
> Donc Un et Vn sont adjacentes (ou j'ai sauté une étape ?)
>[/color]
4.
Je pense qu'on peut démarrer comme ça:
lim (Un - Vn) = 0
n-> +oo
Donc lim Un = lim Vn
n->+oo n-> +oo
Mais je ne sais pas ou sa nous mêne. J'ai essayé, et je reste coincé,
parce que ne sais pas comment faire.
Sinon, Un et Vn convergent vers l.
Et:
>soient (zn)=(un*vn)
>on a pour tout n zn+1=zn
>(zn) est donc une suite constante valant ab
>
>par unicité de la limite dans l'expression de un+1
>l=ab/l
>l=sqrt(ab)
>(sqrt pour racine carrée)
Même si je suis d'accord, je ne sais pas comment vou avez fait.
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:18
Alexandre a écrit:
stp fais un effort dans tes citations, on connait pas forcément tout
l'énoncé par coeur
la question du 4 était : " A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la
limite des suites (Un) et (Vn) "
> 4.
> Je pense qu'on peut démarrer comme ça:
>
> lim (Un - Vn) = 0
> n-> +oo
>
> Donc lim Un = lim Vn
> n->+oo n-> +oo
>
>
> Mais je ne sais pas ou sa nous mêne. J'ai essayé, et je reste coincé,
> parce que ne sais pas comment faire.
Lis un peu l'énoncé !
On te proposes d'étudier la suite auxiliaire Pn = Un*Vn. Essayes de voir
des propriétés élementaires de cette suite, par exemple ... sens de
variation.
> Sinon, Un et Vn convergent vers l.
> Et:[color=green]
> >soient (zn)=(un*vn)
> >on a pour tout n zn+1=zn
> >(zn) est donc une suite constante valant ab
> >
> >par unicité de la limite dans l'expression de un+1
> >l=ab/l
> >l=sqrt(ab)
> >(sqrt pour racine carrée)
>
> Même si je suis d'accord, je ne sais pas comment vou avez fait.[/color]
Les suites Un et Vn étant adjacentes, elles convergent toutes deux vers
l. Les théorèmes du cours nous assurent alors que la suite Pn converge
vers l*l = l^2. Or tu dois pouvoir calculer très facilement la limite de
Pn en t'aidant des indications précédentes. c'est bon ?
--
albert
stp fais un effort dans tes citations, on connait pas forcément tout
l'énoncé par coeur
la question du 4 était : " A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la
limite des suites (Un) et (Vn) "
> 4.
> Je pense qu'on peut démarrer comme ça:
>
> lim (Un - Vn) = 0
> n-> +oo
>
> Donc lim Un = lim Vn
> n->+oo n-> +oo
>
>
> Mais je ne sais pas ou sa nous mêne. J'ai essayé, et je reste coincé,
> parce que ne sais pas comment faire.
Lis un peu l'énoncé !
On te proposes d'étudier la suite auxiliaire Pn = Un*Vn. Essayes de voir
des propriétés élementaires de cette suite, par exemple ... sens de
variation.
> Sinon, Un et Vn convergent vers l.
> Et:[color=green]
> >soient (zn)=(un*vn)
> >on a pour tout n zn+1=zn
> >(zn) est donc une suite constante valant ab
> >
> >par unicité de la limite dans l'expression de un+1
> >l=ab/l
> >l=sqrt(ab)
> >(sqrt pour racine carrée)
>
> Même si je suis d'accord, je ne sais pas comment vou avez fait.[/color]
Les suites Un et Vn étant adjacentes, elles convergent toutes deux vers
l. Les théorèmes du cours nous assurent alors que la suite Pn converge
vers l*l = l^2. Or tu dois pouvoir calculer très facilement la limite de
Pn en t'aidant des indications précédentes. c'est bon ?
--
albert
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:19
(Pour ne pas s'emmêler les pinceaux: )
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 00
V0 = b >0
Donc l'hypothèse est vérifiée pour les premiers termes.
H.R:
On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0
Hérédité:
On montre qu'au rang (n+1) appartenant à N, U(n+1) >0 et V(n+1) >0
D'après H.R:
Un >0 et Vn >0
Un.Vn >0
Un + Vn >0
2Un.Vn / (Un+Vn) >0
Donc U(n+1) >0, donc Un est strictement positif.
Un >0 et Vn >0
Un + Vn >0
(Un+Vn) /2 >0
Donc V(n+1) >0, donc Vn est strictement positif.
2. "On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
Démontrer que 0=0
Wn = Vn - Un
W(n+1) = V(n+1) - U(n+1)
=(Un+Vn)/2 - 2Un.Vn / (Un+Vn)
=(Un² - 2Un.Vn + Vn²) / 2(Un + Vn)
= (Vn - Un). (Vn - Un)/ 2(Un + Vn)
= Wn * (Vn - Un)/ 2(Un + Vn)
Wn >0 => Vn - Un >0 => Vn > Un
Vn - Un (Vn - Un) / (Vn + Un) = (albert junior) :" La question suivante se fait par récurence."[/color]
Je ne sait pas très par où commencer:
0=0 => Vn - Un >0 => Vn > Un
(Un - Vn) / 2 Un
Vn.Un > Un.Un
(Un.Vn - Un²) / (Un + Vn) >0
U(n+1) - Un >0
U(n+1) > Un
Donc Un est une suite croissante.
Vn est décroissante.
Un est croissante.
lim (Un - Vn) =0
n -> +oo
Donc les suites sont adjacentes.
(Un est bien croissante ? Je suis bien parti de U(n+1) - Un , et je
trouve un résultat différent de ce que j'avais pu lire:
>décroissance de (un)
>[...]
>donc un+1 (metzou) :"il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2"
Mais je ne sais pas vraiment comment faire.
Soit a et b deux nombres réels vérifiant 00
V0 = b >0
Donc l'hypothèse est vérifiée pour les premiers termes.
H.R:
On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que Un >0 et Vn >0
Hérédité:
On montre qu'au rang (n+1) appartenant à N, U(n+1) >0 et V(n+1) >0
D'après H.R:
Un >0 et Vn >0
Un.Vn >0
Un + Vn >0
2Un.Vn / (Un+Vn) >0
Donc U(n+1) >0, donc Un est strictement positif.
Un >0 et Vn >0
Un + Vn >0
(Un+Vn) /2 >0
Donc V(n+1) >0, donc Vn est strictement positif.
2. "On pose, pour tout entier naturel n, Wn = Vn - Un
Démontrer que 0=0
Wn = Vn - Un
W(n+1) = V(n+1) - U(n+1)
=(Un+Vn)/2 - 2Un.Vn / (Un+Vn)
=(Un² - 2Un.Vn + Vn²) / 2(Un + Vn)
= (Vn - Un). (Vn - Un)/ 2(Un + Vn)
= Wn * (Vn - Un)/ 2(Un + Vn)
Wn >0 => Vn - Un >0 => Vn > Un
Vn - Un (Vn - Un) / (Vn + Un) = (albert junior) :" La question suivante se fait par récurence."[/color]
Je ne sait pas très par où commencer:
0=0 => Vn - Un >0 => Vn > Un
(Un - Vn) / 2 Un
Vn.Un > Un.Un
(Un.Vn - Un²) / (Un + Vn) >0
U(n+1) - Un >0
U(n+1) > Un
Donc Un est une suite croissante.
Vn est décroissante.
Un est croissante.
lim (Un - Vn) =0
n -> +oo
Donc les suites sont adjacentes.
(Un est bien croissante ? Je suis bien parti de U(n+1) - Un , et je
trouve un résultat différent de ce que j'avais pu lire:
>décroissance de (un)
>[...]
>donc un+1 (metzou) :"il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2"
Mais je ne sais pas vraiment comment faire.
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:19
Alexandre a écrit:
> 0 =
> (Ici, j'ai un petit problème:
>[color=green]
> > (albert junior) :" La question suivante se fait par récurence."
>
> Je ne sait pas très par où commencer:
>
> 0=
> En prenant les premiers termes:
> 0 =
> 0 =
> (b - a) * (b - a) / 2(b + a)
> = (b-a)² / 2(b-a)
> = (b - a) / 2
> Donc l'hypothèse est vérifiée.
>
> Je ne suis pas sûr de la supposition:
>
> H.R :
> On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que 0=
> Hérédité:
> On montre qu'il existe (n-1) appartenant à N tel que 0=
> (Cette récurrence me parait bizarre).[/color]
En effet, car tu supposes P(n) et tu veux montrer Q(n+1) !
Tu dois supposer : il existe n tel que 0= (Un est bien croissante ? Je suis bien parti de U(n+1) - Un , et je
> trouve un résultat différent de ce que j'avais pu lire:
>
> >décroissance de (un)
> >[...]
> >donc un+1
> Ou alors j'ai fait une erreur).
j'avais du me tromper, désolé
>
>
> 4. "A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la limite des suites (Un) et
> (Vn)"
>
> Soit une suite Pn, tel que Pn = Vn * Un.
> Quelque soit n appartenant à N, on a P(n+1) = Pn.
> Donc Pn est une suite constante, et lim Pn converge vers l².
>
> Un et Vn étant adjacentes, elles convergent et ont la même limite l.
>
> Comme Pn est constante:
> P0 = U0*V0
> l² = a.b
> Donc l = sqrt.(a.b)
>
> Donc lim Un = lim Vn = sqrt.(a.b)
oui c'est correct
>
>
> 5. "Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un)
> et (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
>
> U0 = a = 3
> V0 = b = 5
> W0 = U0 - V0 = 2
> P0 = U0 * V0 = 15
>
> D'après la question 2:
> 0 =[color=green]
> > (metzou) :"il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2"
>
> Mais je ne sais pas vraiment comment faire.[/color]
pusique 0 =< Wn =< (b-a)/2^n, *au pire* Wn sera inférieur à 10^-2 quand
(b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) =< 10^-2 ie ... (à
résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de toute
façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de regarder
quand Wn =< 10^-2 et lire à ce moment la valeur de Un.
--
albert
> 0 =
> (Ici, j'ai un petit problème:
>[color=green]
> > (albert junior) :" La question suivante se fait par récurence."
>
> Je ne sait pas très par où commencer:
>
> 0=
> En prenant les premiers termes:
> 0 =
> 0 =
> (b - a) * (b - a) / 2(b + a)
> = (b-a)² / 2(b-a)
> = (b - a) / 2
> Donc l'hypothèse est vérifiée.
>
> Je ne suis pas sûr de la supposition:
>
> H.R :
> On suppose qu'il existe n appartenant à N tel que 0=
> Hérédité:
> On montre qu'il existe (n-1) appartenant à N tel que 0=
> (Cette récurrence me parait bizarre).[/color]
En effet, car tu supposes P(n) et tu veux montrer Q(n+1) !
Tu dois supposer : il existe n tel que 0= (Un est bien croissante ? Je suis bien parti de U(n+1) - Un , et je
> trouve un résultat différent de ce que j'avais pu lire:
>
> >décroissance de (un)
> >[...]
> >donc un+1
> Ou alors j'ai fait une erreur).
j'avais du me tromper, désolé
>
>
> 4. "A l'aide de l'étude (Un Vn), déterminer la limite des suites (Un) et
> (Vn)"
>
> Soit une suite Pn, tel que Pn = Vn * Un.
> Quelque soit n appartenant à N, on a P(n+1) = Pn.
> Donc Pn est une suite constante, et lim Pn converge vers l².
>
> Un et Vn étant adjacentes, elles convergent et ont la même limite l.
>
> Comme Pn est constante:
> P0 = U0*V0
> l² = a.b
> Donc l = sqrt.(a.b)
>
> Donc lim Un = lim Vn = sqrt.(a.b)
oui c'est correct
>
>
> 5. "Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un)
> et (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
>
> U0 = a = 3
> V0 = b = 5
> W0 = U0 - V0 = 2
> P0 = U0 * V0 = 15
>
> D'après la question 2:
> 0 =[color=green]
> > (metzou) :"il suffit de calculer quand est ce que wn vaut 10^-2"
>
> Mais je ne sais pas vraiment comment faire.[/color]
pusique 0 =< Wn =< (b-a)/2^n, *au pire* Wn sera inférieur à 10^-2 quand
(b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) =< 10^-2 ie ... (à
résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de toute
façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de regarder
quand Wn =< 10^-2 et lire à ce moment la valeur de Un.
--
albert
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:19
>> En prenant les premiers termes:[color=green]
>> 0 =>
>> 0 =>
>> (b - a) * (b - a) / 2(b + a)
>> = (b-a)² / 2(b-a)
>> = (b - a) / 2
>> Donc l'hypothèse est vérifiée.[/color]
Oups... Faute de frappe ou d'inattention. Le résultat est de toute façon
le même:
(b - a) * (b - a) / 2(b + a)
= (b-a)² / 2(b+a)
Et non (b-a)² / 2(b-a)
Du coup, je ne sais pas si l'hypothèse est vérifiée. J'imagine que oui,
mais j'ai du mal à le prouver.
> En effet, car tu supposes P(n) et tu veux montrer Q(n+1) !
> Tu dois supposer : il existe n tel que 0= que 0 = En utilsiant que pour tout n, 0 =5.
> pusique 0 = (b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) = résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de toute
> façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de regarder
> quand Wn =< 10^-2 et lire à ce moment la valeur de Un.
"Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
(Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
Je préfère la deuxième méthode. Mais ne comprends pas pourquoi on
regarde quand Wn =< 1n^-2, puisque c'est de sqrt.(15) qu'on doit faire
l'encadrement.
W0 = 2
W1 = 0.25
W2 = 1/248
....
>> 0 =>
>> 0 =>
>> (b - a) * (b - a) / 2(b + a)
>> = (b-a)² / 2(b-a)
>> = (b - a) / 2
>> Donc l'hypothèse est vérifiée.[/color]
Oups... Faute de frappe ou d'inattention. Le résultat est de toute façon
le même:
(b - a) * (b - a) / 2(b + a)
= (b-a)² / 2(b+a)
Et non (b-a)² / 2(b-a)
Du coup, je ne sais pas si l'hypothèse est vérifiée. J'imagine que oui,
mais j'ai du mal à le prouver.
> En effet, car tu supposes P(n) et tu veux montrer Q(n+1) !
> Tu dois supposer : il existe n tel que 0= que 0 = En utilsiant que pour tout n, 0 =5.
> pusique 0 = (b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) = résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de toute
> façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de regarder
> quand Wn =< 10^-2 et lire à ce moment la valeur de Un.
"Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
(Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
Je préfère la deuxième méthode. Mais ne comprends pas pourquoi on
regarde quand Wn =< 1n^-2, puisque c'est de sqrt.(15) qu'on doit faire
l'encadrement.
W0 = 2
W1 = 0.25
W2 = 1/248
....
Re: Suites
par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:19
Alexandre a écrit:
> initialisation
> J'ai supposé que l'initialisation était vérifiée pour le moment.
>
> H.R:
> On suppose qu'il existe n tel que 0=
> Hérédité:
> On montre qu'il existe n (ou n+1 ?) appartenant à N tel que 0 = (b-a)/2^n+1
>
>
> 0 = En partant de là, il suffit de prouver que Wn /2 = (b-a)/2^n+1
> Donc prouver que Wn/2 = W0 / 2^(n+1)
Je veux bien t'aider, mais parfois j'ai l'impression que tu ne fais
aucun effort. Essayes de te concentrer un peu sur les problèmes avant de
psoer des questions dans tous les sens. PEut-être que tu devrais aussi
refaire des exos de base sur le principe de récurrence parce que tu me
parais assez juste là dessus actuellement.
je reprends : on a montré que pour tout n, 0 => 5.
>> pusique 0 => quand (b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) => (à résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de
>> toute façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de
>> regarder quand Wn =
>
>
> "Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
> (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
>
> Je préfère la deuxième méthode. Mais ne comprends pas pourquoi on
> regarde quand Wn = l'encadrement.[/color]
tu ne connais pas la valeur de sqrt(15), comment veux tu savoir quand tu
sera à 10^2 de cette valeur ?
Par contre puisque tu as pour tout n, Un =
> W0 = 2
> W1 = 0.25
> W2 = 1/248[/color]
il me semble que 1/248 < 1/100 = 10^-2
--
albert
> initialisation
> J'ai supposé que l'initialisation était vérifiée pour le moment.
>
> H.R:
> On suppose qu'il existe n tel que 0=
> Hérédité:
> On montre qu'il existe n (ou n+1 ?) appartenant à N tel que 0 = (b-a)/2^n+1
>
>
> 0 = En partant de là, il suffit de prouver que Wn /2 = (b-a)/2^n+1
> Donc prouver que Wn/2 = W0 / 2^(n+1)
Je veux bien t'aider, mais parfois j'ai l'impression que tu ne fais
aucun effort. Essayes de te concentrer un peu sur les problèmes avant de
psoer des questions dans tous les sens. PEut-être que tu devrais aussi
refaire des exos de base sur le principe de récurrence parce que tu me
parais assez juste là dessus actuellement.
je reprends : on a montré que pour tout n, 0 => 5.
>> pusique 0 => quand (b-a)/2^n sera inférieur à 10^-2, ie 1/2^(n-1) => (à résoudre avec les logarithmes). Mais tu peux aussi (puisque de
>> toute façon tu devra le faire) calculer les premiers termes de Wn, de
>> regarder quand Wn =
>
>
> "Application: en prenant a = 3 et b = 5, déterminer à l'aide de (Un) et
> (Vn) un encadrement d'amplitude 10^(-2) de Rac.(15) par deux rationnels."
>
> Je préfère la deuxième méthode. Mais ne comprends pas pourquoi on
> regarde quand Wn = l'encadrement.[/color]
tu ne connais pas la valeur de sqrt(15), comment veux tu savoir quand tu
sera à 10^2 de cette valeur ?
Par contre puisque tu as pour tout n, Un =
> W0 = 2
> W1 = 0.25
> W2 = 1/248[/color]
il me semble que 1/248 < 1/100 = 10^-2
--
albert
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