Suites

[youkef-sne]

Bonjour,
On me dit: Soit a(n) une suite définie sur N* par : a(1) = 1 et a(n+1) = 1 + a(1)a(2)a(3)......a(n)
Démontrer par récurrence que pour tout K appartenat a N, a(n) >= K. Voila ce que j'ai écris :

Initialisation: Pour k= 1, on a a(1) = 1 et a(1) >= 1 Donc la propriété est initialisé

Hérédité: Supposons que la propriété a(n) >= K est vrai pour un certain rang n. Démontrons qu'elle est héréditaire et donc qu'elle est vrai au rang n+1: Pour cela, il faut supposer que pour un entier k>=1 , il existe un entier n tel que Un >= k
Mais a partir de la je bloque.

[siger]

Bonjour

a(n) -1 = a(1)a(2)...a(n-1)
a(n+1) - 1 = a(1)a(2)...a(n-1)a(n)
a(n+1) = 1 + (a(n) - 1)*a(n)
si a(n) >K, ......

[Thomas Joseph]

Bonjour, peux-tu préciser l'énoncé ?

[Ben314]

Salut,
Ça m'étonerais fort que çe soit ça qu'il y a dans ton énoncé :

Démontrer par récurrence que pour tout K appartenat a N, a(n) >= K.

vu que tel quel,... ça veut rien dire...

Est-ce :
1) "Montrer que pour tout K dans N, il existe un n dans N tel que a(n) >= K"
2) "Montrer que pour tout K dans N, et tout n dans N on a a(n) >= K"
3) "Montrer que pour tout n dans N et tout K dans N, on a a(n) >= K"
4) "Montrer qu'il existe n dans N tel que, pour tout K dans N on ait a(n) >= K"

J'ai évidement mon idée sur la question, mais il faudrait que, pour toi, ça soit bien clair que ces 4 phrases ne disent pas du tout la même chose et que les méthode pour les démontrer (enfin... celles qui sont vraies...) ne sont pas les mêmes.

[youkef-sne]

La question c'est Montrer que pour tout n dans N et tout K dans N, on a a(n) >= k

[Ben314]

La question c'est Montrer que pour tout n dans N et tout K dans N, on a a(n) >= k

Dans ce cas, c'est.... assez façile : pour n=1 et k=1 000 000 000 000 000, a-t-on a(n)>=k ?
Donc a-t-on a(n)>=k pour tout n et tout k ?

[youkef-sne]

Dans ce cas, c'est.... assez façile : pour n=1 et k=1 000 000 000 000 000, a-t-on a(n)>=k ?
Donc a-t-on a(n)>=k pour tout n et tout k ?

Donc si j'ai compris ce que tu veu dire, la propriété est fausse.

[Thomas Joseph]

C'est ça ... ou alors tu nous as mal donné l'énoncé, je penses que c'est ce qu'a sous-entendu ben avec tout ces 0000000

[chan79]

à noter que

a(n+1)=(a(n))²-a(n)+1 si n>1

[youkef-sne]

Mais on a : lim an = + inf quand x tend vers +inf donc la suite a(n) n'est pas majorée.

[Ben314]

Mais on a : lim an = + inf quand x tend vers +inf donc la suite a(n) n'est pas majorée.

Oui, et justement, ça ne veut pas dire ce que tu disait.

Dire que la suite est majorés, ça veut précisément dire que :
"Il existe un entier K tel que, pour tout entier n on ait a(n)K"

A noter que la négation d'un "il existe" est un "quelque soit" et vice versa.
Par exemple la négation de "Toute les voitures du parking sont rouge" et "Il y a une voiture qui n'est pas rouge sur le parking"

Donc ici, à mon avis, ce qu'il faut montrer c'est effectivement que a(n) n'est pas majorée, c'est à dire que :
"Pour tout entier K, il existe un entier n tel que a(n)>K"

[youkef-sne]

D'accord. Pour l'imitialisation j'ai réussi a me débrouiller mais pour l'hérédité, je ne vois pas comment faire ?

[Thomas Joseph]

Une récurrence sur n immédiate montre que a(n) est à valeurs dans N privé de 0, et que a(n) est croissante.

En reprenant l'idée de Siger, on effectue ensuite une récurrence sur k.
Pour k=0, a(1)>k
Hypothèse : Pour k entier, il existe n tels que a(n) est supérieur à k
Montrons la propriété vraie pour k+1.
par hypothèse de récurrence il existe n>2 tel que a(n)>k, donc a(n+1)>1+k*b, avec b appartenant à N (b est le produit des n-1 premiers termes de la suite),
donc a(n+1)>k+1.