Suites

[MistK]

Bonjour à vous ! Je me retrouve face à un exercice qui me pose problème ! En voici l'énoncé :
Un groupe de biologistes a relevé pendant 4 ans la population de pies chaque premier janvier, on sait que la population baisse de 10% chaque année, en 2000 la population est de 300 en 2010 elle sera de 105.
Pour tenter de modifier la baisse, les biologistes introduisent une nombre a d'oiseaux chaque années suivant l'année 2010, on estime que le risque d'extinction est évité si la population se stabilise autour de 200. On sait que pour a=20, la population se stabilise à 200, et l'extinction est évitée.
On appelle qn la population en 2010 + n
1) Exprimer qn+1 en fonction de qn
qn+1=0.9qn+20
2) On pose Un=qn-200, montrer que la suite Un est géométrique
On pose Un+1/Un= 0.9(qn-200)/(qn-200)=0.9
3)Exprimer alors, pour tout entier naturel n, un en fonction de n
un=u0q^n
4)Déduire de ce qui précède que pour tout entier naturel n: qn=200-95*(0.9)^n
Et c'est la que je bug, on sait que 200-95=105 soit q0, la population en 2010 ( avec 200 le niveau de stabilisation et 95, 0.9*105 (que je remarque mais je ne sais pas vraiment pourquoi) puis 0.9 la raison q de la suite Un mais là on demande qn, c'est pour ça que je ne comprends pas...
5)Démontrez que la suite qn est croissante
6)Démontrez que pour tout entier naturel n, qn<200
Je pense que si j'ai la 4 j'aurai le reste...merci à ceux qui voudront bien m'aider !

[siger]

bonjour

comme on ne sait pas calculer directement qn on passe par un artifice: le calcul de un
un= qn -200
un = u0*(0,9)^n avec u0 = 105 -200 = -95
d'ou
qn = un + 200 = 200 - 95(0,9)^n
.......

[MistK]

Merci ! mais pourquoi Uo=105-200 ? Pourquoi on soustrait la population de 2010 avec le niveau de stabilisation souhaité ?

[MistK]

D'accord j'ai finalement compris merci !

[MistK]

Et pour les variations on regarde le signe de Un+1 - Un ?

[MistK]

Parce que Qn+1 - Qn= 200-95*(0.9)^n+1 - 200-95*(0.9)^n=
-95*(0.9)^n+1 - 95*(0.9)^n
=(-95)(0.9^n+1+0.9^n)
Mais ensuite....

[siger]

re

Q(n+1) -Qn = 200 -95* (0,9)^( n+1) - 200 + 95*(0,9)^n
= 95*(0,9)^n *(1-0,9)
.....

95(0,9)^n toujours >0 quelque soit n
......

[MistK]

je ne comprends pas totalement comment tu passes a la seconde ligne...

[siger]

?????!!!!

(0,9)^( n+1) = (0,9)*(0,9)^ n*. !!!!

[MistK]

D'accord j'ai compris (chapitre sur lequel nous n'avons pas eu de leçon j'ai un peu de mal à comprendre)
merci beaucoup, je devrais pouvoir me débrouiller pour la dernière !