Suites

[spuddy60]

Bonjour, j’ai un petit probleme sur des suite, j’ai ma fonction qui est f(n)=1/2[n+(2/n)] avec u « n »=f(n)

a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)


Pour le a),j’ai dit que u«n»=n/2+1/n donc :
u«n»+1-u«n» = (n+1)/2+1/(n+1)-n/2-1/n = ½+1/(n+1)-1/n
Mais après je sais que : -u0 est impossible
-u1=0
-u2=1/3
Faut il que je le démontre de cette façon ??

Et les 2 questions suivantes je ne sais pas du tout comment il faut faire, pouvez vous m’aider svp
Je vous rassure c’est pas noté mais j’aimerais bien comprendre comment faire merci

[Touriste]

Bonjour,

Que doit vérifier si ta suite est croissante ?

[spuddy60]

Il faut que je demontre que c'est superieur à 0 mais quand je cherche je developpe f(n)et je trouve f(n)=n²+n-2 et de là, je trouve deux solutions -2 et 1, ce qui ne m'aide pas beaucoup :hein:

[Touriste]

Tu as écrit
.
Tu veux montrer que cette quantité est positive.
Qu'est ce que tu obtiens quand tu réduis tout au nême dénominateur ?

[spuddy60]

j'obtiens n²+n-2/2n(n+1) quand je reduis au meme denominateur

[abel]

Le denominateur est tjs positif.
n²+n-2 = (n+1/2)² - 9/4
f(n)=(n+1/2)² est croissante et f(2)-9/4 = 0 donc f(n>=2) >= 0.

[Frangine]

Tu oublies de dire que tu viens d'étudier la fonction

f(x) = (1/2)x + (1/x) ..........

[spuddy60]

Abel, tu m'as écrit:
"f(n)=(n+1/2)² est croissante et f(2)-9/4 = 0 donc f(n>=2) >= 0."
Je comprend que (n+1/2)² soit positif donc croissante mais je ne pourquoi cela deviens f(2) ensuite.

[abel]

ca veut dire que qud tu prends n>=2 f - 9/4 est positive donc Un+1-Un>=0

PS : une fonction positive n'est pas forcément croissante mais ici elle est croissante pr n>=1 (fonction carrée)

[spuddy60]

Ok j'ai compris mais d'après ce que tu me dis et que j'ai verifié par calcul, la fonction est croissante a partir du rang n=1 mais dans l'enoncé de l'exercice, il me dise de montrer que la suite est croissante STRICTEMENT à partir du rang 2 donc je ne comprends pas tout. :hein:

[abel]

eh ben, la fonction est croissante à partir de n=1 et positive a partir de n=2 donc la suite est croissante à partir de n=2

[spuddy60]

ça y est, j'ai compris!!Pff il m'en faut du temps!! Je trouve des choses mais j'ai du mal à interpreter les resulatts que je trouve.
Par contre, la suite je n'y arrive pas du tout! :cry:

L'énoncé est :

Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

V0=2
si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
b)en utilisant la premiere partie, prouver que :
- pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2
- pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

-Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
-Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
-Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn
Pouvez vous m'aider svp

[spuddy60]

Bonjour je vais redonner l'enoncé! Car je n'arrive pas a faire le d) et e) du II)
I)
a)Il faut que je montre que cette suite est croissante strictement à partir de n=2
b) il faut que je determine la limite de la suite(u«n»)
c)il faut que je precise(u«n»/n)

J'ai donc trouvé:

U(n+1) - U(n) = (1/2).[n+1 +(2/(n+1))] - (1/2).[n+(2/n)]
= (1/2).[(n+1)²+2]/(n+1) - (1/2).(n²+2)/n
= (1/2).[n(n²+2n+3)-(n+1).(n²+2)]/[n(n+1)]
= (1/2).(n³+2n²+3n-n³-2n-n²-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n²+n-2)/[n(n+1)]
= (1/2).(n-1)(n+2)/[n(n+1)]

U(n+1) - U(n) = 0 pour n = 1
U(n+1) - U(n) > 0 pour n >= 2
--> La suite Un est strictement croissante à partir de n = 2.
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b)

lim(n-> +oo) U(n) = lim(n->+oo) (1/2).[n+(2/n)] = +oo
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c)U(n)/n = (1/2).(1+(2/n²))
U(n)/n = (1/2).(n²+2)/n²

lim(n-> oo) [U(n)/n] = (1/2).lim(n->oo) [(n²+2)/n²] = 1/2


II) Soit la suite(Vn) définie sur N* par :

V0=2
si n appartient à N*, Vn+1=f(Vn)

a)préciser sous forme de fraction irreductible les nombres V1,V2 et V3
b)en utilisant la premiere partie, prouver que :
- pour tout entier n, on a Vn>0 et racine de 2
- pour tout entier n, on a Vn>Vn+1 entraine Vn+1>Vn+2

En deduire que (Vn) est une suite strictement decroissante

c) Soit la suite (Wn) définie par: Wn=2/Vn

-Expliquer pourquoi on peut toujours calculer Wn
-Calculer les termes W0,W1,W2 et W3 sous forme de fractions irreductible
-Prouver que la suite (Wn) est strictement croissante et que l'on a Wn
d) on note pour tout entier n, Dn=Vn-Wn; prouver que :
Dn+1=Vn+1-Wn+1et 0
En deduire que la suite (Dn) converge vers 0
Quel est alors la limite de la suite(Vn)?

e) Quelle est la longueur de l'intervalle[W4;V4]? Commentaire?

J'ai donc trouvé:

a)

f(n)=(1/2)[n+(2/n)]

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))]
V(0) = 2

V(1) = (1/2)[V(0)+(2/V(0))] = (1/2)[2+(2/2)] = 3/2
V(2) = (1/2)[V(1)+(2/V(1))] = (1/2)[(3/2)+(2/(3/2))] =(1/2)[(3/2)+(4/3)] = 17/12
V(3) = (1/2)[V(2)+(2/V(2))] = (1/2)[(17/12)+(2/(17/12))] = (1/2).[(17/12)+(24/17)] = 577/408
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b)

V(n+1) - V(n) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] - V(n)
V(n+1) - V(n) = (1/V(n)) - (1/2).V(n)
V(n+1) - V(n) = (2-(V(n))²)/(2V(n))

Si V(n) > 0, alors , comme V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] on a V(n+1) > 0
Comme V(0) > 0 --> tous les termes de Vn sont positifs.
--> V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²)

V(n+1) = (1/2)[V(n)+(2/V(n))] = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)]

g(x) = (1/2)[(2+x²)/x] pour x > 0
g'(x) = (1/2)[(2x²-2-x²)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x²-2)/x²]
g'(x) = (1/2)[(x-racine(2))(x+racine(2))/x²]
Comme x > 0, g'(x) a le signe de (x-racine(2))

g'(x) < 0 pour x dans ]0 ; racine(2)[ --> g(x) est décroissante.
g'(x) = 0 pour x = racine(2)
g'(x) > 0 pour x dans ]racine(2) ; oo[ --> g(x) est croissante.

g(x) a un minimum pour x = racine(2), ce minimum vaut g(racine(2)) = (1/2).(2+2)/racine(2) = racine(2)

--> g(V(x)) = (1/2)[(2+(V(n))²)/V(n)] >= racine(2)

V(n+1) >= racine(2)

Comme V(0) > racine(2), tous les termes de la suite Vn sont > racine(2)

Comme V(n+1) - V(n) a le signe de (2-(V(n))²), on a donc: V(n+1) - V(n) < 0

soit V(n+1) < V(n) --> la suite Vn est strictement décroissante.
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c)
La suite Vn est strictement décroissante, V(0) = 2 et V(n) > racine(2) pour tout n de N

--> racine(2) < V(n) <= 2 pour tout n de N

V(n) n'est jamais nul et donc 2/V(n) est défini pour tout n de N, on peut par conséquent toujours calculer W(n)

W(0) = 2/V(0) = 2/2 = 1
W(1) = 2/V(1) = 2/(3/2) = 4/3
W(2) = 2/V(2) = 2/(17/12) = 24/17
W(3) = 2/V(3) = 2/(577/408) = 816/577

Comme la suite Vn est strictement décroissante et que V(n) est stritement positif, la suite de terme général 2/V(n) est strictement croissante.

On a montré avant que: racine(2) < V(n) pour tout n de N.
avec V(n) > 0 --> 1/racine(2) > 1/V(n)
2/racine(2) > 2/V(n)
racine(2) > 2/V(n)
2/V(n) < racine(2)
W(n) < racine(2)

On a donc: W(n) < racine(2) < V(n)

d) D(n) = V(n) - W(n)
D(n+1) = V(n+1) - W(n+1)

Et comme Wn est une suite croissante, on sait que W(n+1) > W(n)
--> D(n+1) < V(n+1) - W(n)

Or :
V(n+1) - W(n) = V(n+1) - 2/V(n) = (1/2).[V(n)+(2/V(n))] - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) + 1/V(n) - 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - 1/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2). 2/V(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).V(n) - (1/2).W(n)
V(n+1) - W(n) = (1/2).(V(n) - W(n))
V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)

et on a alors : D(n+1) = V(n+1) - W(n+1) < V(n+1) - W(n) = (1/2).D(n)
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D(n) = V(n) - 2/(V(n))
D(n) = ((V(n))² - 2)/(V(n))

Mais ensuite je n'y arrive plus, pouvez vous m'aider SVP
Merci d'avance