Suites

[Fleurette]

Bonjour, je suis arrivé la question 1), la 2a) je pense avoir juste, mais je bloque a partir de la 2b) , merci de pouvoir m'aider .

Un globe-trotter a parié avec des amis de parcourir une distance de 5000km à pied. Le premier jour, il peut parcourir 50km, mais ensuite la fatigue s'accumule et sa performance diminue de 1% tous les jours. Pour tout entier n> ou égale a 1, on note dn la distance parcourue durant le n-ieme jour, en km. Ainsi, d1= 50.

1) Quelle est la nature de la suite (dn) ? En deuire l'expression de dn en fonction de n.

2) Pour tout entier n> ou égale 1, on note Ln la distance totale (en km) parcourue en n jours: Ln = d1+d2+...+dn .

a) exprimer Ln en fonction de n.

b) En deduire la limite de la suite (Ln)

c) Le globe trotteur peut-il gagner son pari?

[titine]

Donne te réponses du 1) et du 2a)

[Fleurette]

Donne te réponses du 1) et du 2a)

1) Dn = d1 * ( 1 - 1 / 100 ) = 50 * 0.99 = 49.5 pour le 2eme jour.

2a) Ln = d 1 * ( 1 - 0.99 ^ n+ 1 / 1 - 0.99 ^ n )

[titine]

Tu ne réponds pas aux questions posées.

1) Quelle est la nature de la suite (dn) ?

En déduire l'expression de dn en fonction de n.

[Fleurette]

Dn est une suite géométrique u0 * q^n

[titine]

2a) Ln = d 1 * ( 1 - 0.99 ^ n+ 1 / 1 - 0.99 ^ n )

Pas tout à fait.
Il faut effectivement utiliser la formule donnant la somme des termes d'une suite géométrique.
Cette formule est :
S = (1er terme) * (1-raison^(nombre de termes))/(1-raison)
Attention. Ici on fait la somme de d1 à dn. Il y a donc n termes (et pas (n+1))
Donc :
Ln = d 1 * ( (1 - q ^ n) / (1 - q) = 50 * ( (1 - 0,99 ^ n) / (1 - 0.99) = 50 (1 - 0,99^n)/0,01
= 5000(1 - 0,99^n)

[titine]

Dn est une suite géométrique u0 * q^n

Pourquoi ? Justifie

[titine]

d(n) = distance parcourue le n-ième jour.
d(n+1) = distance parcourue le n+1-ième jour, c'est à dire le lendemain du n-ième jour.
On nous dit :

la fatigue s'accumule et sa performance diminue de 1% tous les jours

Donc le n+1-ième jour il parcourt une distance égale à celle du n-ième jour diminuée de 1 %.
Or diminuer de 1 % revient à multiplier par 1-1/100 = 0,99.
Donc : d(n+1) = d(n) * 0,99
Ce qui prouve que (dn) est une suite géométrique de 1er terme d1 = 50 et de raison 0,99.

On aura donc :
d1 = 50
d2 = 50 * 0,99
d3 = 50 * 099 * 0,99 = 50 * 0,99^2
d4 = 50 * 0,99^2 * 0,99 = 50 * 0,99^3
etc ...
Et plus généralement : dn = 50 * 0,99^(n-1) (ceci est l'expression de dn en fonction de n)

Attention ici le premier terme de la suite n'est pas d0 mais d1.