Suites

[sad13]

Bonsoir, si les termes d'une suite reelle sont successivement strictement positifs et stricte-
ment negatifs, peut-on affirmer que cette suite diverge ?

[Joker62]

Hello !

u_n = (-1)^n/n

[Nightmare]

Selon moi, une suite dont les termes successifs sont de signe opposé peut soit être divergente, soit être convergente en zéro.

Oui, pour une raison très simple : Une suite qui converge voit ses termes se rassembler autour de sa limite. En particulier, à partir d'un certain rang, ces termes sont donc du même signe que la limite.

:happy3:

[Luc]

je précise : si on suppose que la limite est différente de zéro. Une suite convergente dont les termes changent de signe ne peut donc converger que vers zéro. Réciproquement de telles suites existent, comme l'a montré Joker.
Luc

Oui, pour une raison très simple : Une suite qui converge voit ses termes se rassembler autour de sa limite. En particulier, à partir d'un certain rang, ces termes sont donc du même signe que la limite.

:happy3:

[sad13]

Ok merci beaucoup; en résumé, soit elle converge vers 0 et dans ce cas là, on a l'exemple de Joker: Un=(-1)^n/n
soit elle diverge, comme Vn=(-5)^n

[sad13]

En particulier, à partir d'un certain rang, ces termes sont donc du même signe que la limite.

Pour le cas où la limite est nulle, on suppose qu'un terme nul est en même temps positif et négatif?! du coup nul car si a>=0 et <=0, a=0.

Bon j'arrête de "chipoter"

[Joker62]

Une limite est rarement atteinte...

Si on reprendre la définition de convergence de Terminale :

On dit qu'une suite u_n converge vers L si pour tout intervalle ouvert centré en L, il existe un rang à partir duquel la suite possède tous ses termes.

Si L est non nul, supposons positif, alors il existe un epsilon tel que ]L-eps;L+eps[ C R+*

Donc tous les termes sont positifs à partir d'un certain rang. Ce qui n'est pas.

[sad13]

Ok par l'absurde quoi; donc si une telle suite converge vers L, L est forcément nul.

merci