Suites

[Graciosa]

Bonjour,

on sait que : 1^3+2^3+ ... +n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Soient les suites (An) et (an) telles que :

an = (1/n^4)(0^3+1^3+ ... +(n-1)^3)
An = (1/n^4)(1^3+2^3+ ... +n^3)

1)a) Démontrer que la suite (an) est croissante.
b) Démontrer que la suite (An) est décroissante.

Je n'arrive pas a faire ces 2 questions :(. Je sais qu'il faut utiliser a(n+1)-an mais je n'arrive pas a obtenir un résultat dont le signe est facilement étudiable.

c) Déterminer An - an et sa limite.

An - an = n^3/n^4

2) En déduire les limites des suites (an) et (An).

Là non plus, je ne vois pas comment faire :/

[JackeOLanterne]

Quel est le domaine de définition de (an) et (An) ? La variation s'en déduit. Quelle est leur limite d'après celle de leur écart que l'on assimile à une troisième suite (Dn) telle que : pour tout n défini, Dn= An -an ?

[Graciosa]

Merci de votre réponse.

Les deux suites sont définies pour tout entier naturel n non nul.
J'ai essayé de faire A(n+1)-An. ça me donne :
(-2n^2-4n-1)/(4n^2(n+1)^2)
Or pour n>0 ceci est négatif. Donc la suite est décroissante.
C'est juste ?
Je suppose qu'il faut faire de meme pour an.


Ensuite, si l'écart entre les 2 suites tend vers 0 ça veut déjà dire qu'elles ont la même limite non ?
Mais comment trouver cette limite, je ne vois pas :(

[JackeOLanterne]

Ensuite, si l'écart entre les 2 suites tend vers 0 ça veut déjà dire qu'elles ont la même limite non ?
Mais comment trouver cette limite, je ne vois pas

Je n'ai pas vérifié les calculs qui se font tous deux par analogie mais pour le dernier point, ces suites sont des fractions rationnelles . Or, que sait-on sur leur limite en l'infini ? Consulte d'abord un cours (en ligne).

[Graciosa]

Cela vous derangerait-il de vérifier les calculs svp ?

Par contre pour an, je trouve (2n^2-1)/(4n^2(n+1)^2)
Or 2n^2+1 est négatif puis positif pour x>0, c'est donc pas bon :(
Je ne sais pas ou je me suis trompé, pouvez vous m'aider ?

Pour la limite, on fait avec les termes de plus haut degré ?

[Anonyme]

on sait que : 1^3+2^3+ ... +n^3 = [n^2(n+1)^2]/4
Soient les suites (An) et (an) telles que :
an = (1/n^4)(0^3+1^3+ ... +(n-1)^3)
An = (1/n^4)(1^3+2^3+ ... +n^3)
1)a) Démontrer que la suite (an) est croissante.
b) Démontrer que la suite (An) est décroissante.
c) Déterminer An - an et sa limite.
An - an = n^3/n^4
2) En déduire les limites des suites (an) et (An)

Bonjour
Piste de travail pour la suite (): qui est une suite positive
donc
donc

or donc
donc le suite est décroissante.

[Graciosa]

Oui mais pour cela, il faut montrer que An>0, comment faire ?

[Anonyme]

Oui mais pour cela, il faut montrer que An>0, comment faire ?

C'est évident vu que est un carré....

[Graciosa]

ce que j'ai fait An+1 - An n'est pas valable ?

[Anonyme]

ce que j'ai fait An+1 - An n'est pas valable ?

peut être mais tes explications/calculs sont difficiles à lire car tu n'utilises pas le langage latex pour faciliter l'écriture/lecture d'expressions mathématiques.
Donc je n'ai pas compris et je ne peux pas répondre à ta question
Désolé

Tout ce que je peux te confirmer c'est que si tu arrives à montrer que pour quelconque ( ) alors la suite est décroissante

[Graciosa]

Pas pour n quelconque mais pour n > 0 non ?

[Anonyme]

Pas pour n quelconque mais pour n > 0 non ?

OUI car est un entier naturel donc non nul veut dire avec entier ou

[Graciosa]

Donc je trouve bien le résulter pour mais j'ai du mal avec an. Pouvez vous calculer et me dire ce que vous trouvez ?

[Graciosa]

Moi je trouve :



Or n'est pas strictement positif pour

[Anonyme]

Donc je trouve bien le résulter pour mais j'ai du mal avec an. Pouvez vous calculer et me dire ce que vous trouvez ?

Si tu as du mal
c'est à toi plutôt (je pense) d'expliquer tes calculs et ou tes difficultés....
soit de
soit de

pour que je puisse le (ou les) valider

[Anonyme]

Moi je trouve :



Or n'est pas strictement positif pour

Je n'ai pas vérifié ce calcul , par contre ta conclusion est fausse car donc on a

[Graciosa]

Ah je viens de réaliser mon erreur. en fait, le signe dépend de Or (à peu près). Cependant on s'interesse à tout n naturel non nul, c'est à dire à partir de 1. est positif pour tout entier n naturel non nul. Donc pour tout entier n naturel non nul.
C'est ça ?

[Anonyme]

Ah je viens de réaliser mon erreur. en fait, le signe dépend de Or (à peu près). Cependant on s'interesse à tout n naturel non nul, c'est à dire à partir de 1. est positif pour tout entier n naturel non nul. Donc pour tout entier n naturel non nul.
C'est ça ?

OUI ce raisonnement est correct.

ps)
pour information : je n'ai pas vérifié le résultat du calcul de mais je te fais confiance, donc considère que c'est OK.

[Graciosa]

Ok merci pour cette précieuse aide !

Derniere question, les 2 suites tendent vers + l'infini non ?

[Anonyme]

Ok merci pour cette précieuse aide !

Derniere question, les 2 suites tendent vers + l'infini non ?

NON

Question:
comment "peux tu voir ou dire " qu'une suite décroissante puisse tendre vers +infini ??