[TS] Suites

[Elnorth]

Bonjour,

Notre professeur nous a donné un exercice pour lundi, mais je n'ai pas envie d'attendre la correction pour plusieurs raisons dont la première est le raz-le-bol de ne pas avoir compris avant ^^. Donc je m'en remets à vous.

Il s'agit d'un exercice type bac des annabacs (pg 28 pour ceux qui l'ont). Pour ceux qui ne l'ont pas, voici le sujet :

Soit la fonction f définie sur l'intervalle [0;2] par f(x) = (2x+1)/(x+1)
1. Etudier les variations de f sur l'intervalle [0;2]
Montrer que si x € [1;2] alors f(x) € [1;2]

2. (Un) et (Vn) sont deux suites définies sur N par :
Uo = 1 et pour tout entier naturel n : U(n+1) = f(Un)
Vo = 2 et pour tout entier naturel n : V(n+1) = f(Vn)

a) Le graphique donné en annexe représente la fonction f sur l'intervalle [0;2]
Construire sur l'axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (Un) et (Vn) en laissant apparents tous les traits de construction. A partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (Un) et (Vn) ?

b) Montrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence que :
Pour tout entier naturel n : 1 <= Vn <= 2
Pour tout entier naturel n : V(n+1) <= Vn

c) Montrer que pour tout entier naturel n :
Vn+1 - Un+1 = (Un-Vn) / (Vn+1)(Un+1)
En déduire que pour tout entier naturel n, Vn - Un => 0 et V(n+1) - U(n+1) <= .25(Vn+Un)

d) Montrer que pour tout entier naturel n : Vn-Un <= (.25)^n

La e) n'est pas à faire. Comme vous vous en doutez, je bloque comme un débile sur les questions de la fin (sauf la c et la d, excepté pour montrer que Vn-Un => 0).

Mais pour commencer dans l'ordre, il me faudrait une petite explication ou une sorte de "piston" pour me faire comprendre comment utiliser (2x+1)/(x+1) dans une relation de récurence puisque les x sont sur deux étages. Donc au début ça se tient mais après ...

Exemple :
Uo => 1
Uo + 1 => 2
Et là je bloque puisque ensuite nous avons un "x", donc ça devrais donner ce qui suit :
Uo => 1
2Uo => 2
2Uo + 1 => 3

Mais ensuite :
(2Uo + 1)/(Uo+1) => 3/2

Bien vous voyez ... là je doute ^^"

[Chimerade]

Utilise le fait que la fonction est croissante !


Donc . La fonction est croissante.

Alors, si , comme et que , tu en déduis que

Le fait que entraîne alors que est croissante.
De même, le fait que entraîne alors que est décroissante

[Elnorth]

C'était tout simple :mur:

En fait, je restais sur le (2x+1)/(x+1), je ne voyais pas du tout la technique pour améliorer l'écriture -_-. Là, c'est évident :)

Merci beaucoup, je prends note de la démarche.