On arrive, on arrive... Il y a tant de demandes, un peu de patience, pour te rendre quelque chose de sympa.
Exercice simple, non ? :lol3:
On a la suite definie :
U(n+1)= sin(Un)
et 0<U1<Pi
1) Demontrons par iteration (par recurrence) que
n;)N*, 0<Un<Pi.
C'est vrai pour U1 : 0<U1<Pi.
U2= sin(U1).
Or dans ]0,+Pi[, 0<sinus<1, donc 0<U2<Pi
On le suppose vrai jusqu'au rang n : 0<Un<Pi
Demontrons que c'est encore vrai au rang suivant (n+1) :
Nous avons U(n+1)=sin(Un), mais toujours de par la qualite de la fonction Sinus, 0<sinUn<1 dans ]0,Pi[. Donc a fortiori, 0<sinUn<1<Pi.
C'est a dire que dans ]0,Pi[, 0<U(n+1)<Pi. CQFD.
Etant encore juste au rang suivant (n+1), la demonstration par iteration montre que c'est toujours vrai,
n;)N*, 0<Un<Pi.
2)
n;)N*, U(n+1)=Un
;)n;)N*, sin(Un)=U(n+1).
Comme Un
]0,Pi[, sin(Un);)]0,1[, donc toujours a fortiori inferieur a Un
]0,Pi[. Soit
n;)N*, sin(Un);)Un.
3) On voit bien sur le graphe que je t'ai fait, le comportement de la fonction Sinus :
[center][img][IMG]http://i32.photobucket.com/albums/d17/wutang_wushu/Maths/Sinus.jpg[/img][/IMG][/center]
La fonction sinus est croissante sur ]0,Pi/2[ et décroissante sur ]Pi/2,Pi[, bien sur.C'est elementaire de demontrer cela, ce n'est que du cours de base.
Pour la limite, comme cette suite est decroissante minoree, le theoreme de la convergence nous informe que
dans R, une suite decroissante minoree converge vers la borne inferieure de l'ensemble de ses elements.
L'equation au point fixe est L=sin(L).
(Un) tend vers 0.
:56:
