Suites et proba

[youkef-sne]

Salut
j'ai un p'tit exo qui concerne les suites et les proba'. Je l'ai fais mais je ne sais pas si j'ai juste. Voici l'enoncé:

Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois un dé équilibré à 6 faces, les lancer étant supposés indépendants deux à deux.
On note U(n) la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.

1) Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu'elle converge.
2) Calculer Sn= Somme(1;n)(Un) c'est a dire que Sn = U(1) + U(2) + U(3) + ..... + U(n)
3)Etudier la convergence de la suite (Sn) et interpreter le resultat.

Ce que j'ai fais:
1) on a une chance sur 6 de tomber sur 4 au premier lancer et ceci pour chaque lancer
on a donc n chance sur 6 de tomber sur 4 au n-ième lancer
on en déduit donc que U(n+1)=q*U(n) avec q=1/6 la raison.
Comme 0 <= q <= 1 on a: lim U(n) = 0 quad n-> + inf.
Donc U(n) converge vers 0.

2)On a: Sn= U(1)+U(2)+U(3)+....+U(n) = [1-q^(n+1)]/(1-q) = [1-(1/6)^(n+1)]/(1-(1/6)) = 6/5[1-(1/6)^(n+1)]

3) Comme lim (1/6)^(n+1) = 0 quand n-> +inf car 0<=1/6<=1
Donc lim [(1/6)^(n+1)] *6/5 = 0 quand n-> +inf
soit lim (6/5)[1-(1/6)^(n+1)] = 6/5
On en conclut que lim (Sn) = 6/5 quand n-> +inf

merci pour ceux qui me diront si j'ai juste ou pas

[mrif]

Salut
j'ai un p'tit exo qui concerne les suites et les proba'. Je l'ai fais mais je ne sais pas si j'ai juste. Voici l'enoncé:

Soit n un entier naturel non nul. On lance n fois un dé équilibré à 6 faces, les lancer étant supposés indépendants deux à deux.
On note U(n) la probabilité d'obtenir pour la première fois le nombre 4 au n-ième lancer.

1) Montrer que (Un) est une suite géométrique et qu'elle converge.
2) Calculer Sn= Somme(1;n)(Un) c'est a dire que Sn = U(1) + U(2) + U(3) + ..... + U(n)
3)Etudier la convergence de la suite (Sn) et interpreter le resultat.

Ce que j'ai fais:
1) on a une chance sur 6 de tomber sur 4 au premier lancer et ceci pour chaque lancer
on a donc n chance sur 6 de tomber sur 4 au n-ième lancer
on en déduit donc que U(n+1)=q*U(n) avec q=1/6 la raison.
Comme 0 + inf.
Donc U(n) converge vers 0.

2)On a: Sn= U(1)+U(2)+U(3)+....+U(n) = [1-q^(n+1)]/(1-q) = [1-(1/6)^(n+1)]/(1-(1/6)) = 6/5[1-(1/6)^(n+1)]

3) Comme lim (1/6)^(n+1) = 0 quand n-> +inf car 0 +inf
soit lim (6/5)[1-(1/6)^(n+1)] = 6/5
On en conclut que lim (Sn) = 6/5 quand n-> +inf

merci pour ceux qui me diront si j'ai juste ou pas

Ta réponse à la première question n'est pas correcte, et du coup toutes tes autres réponses sont fausses.

Comment décris tu l'événement "obtenir pour la première fois la face 4 au nème lancer" ?

[low geek]

Salut,

Je sais pas si tu as fait une erreur d'étourderie ou pas dans la une mais le résultat est juste mais ton explication a un problème:
" on a une chance sur 6 de tomber sur 4 au premier lancer et ceci pour chaque lancer
on a donc n chance sur 6 de tomber sur 4 au n-ième lancer"
Si on suit la logique avec n=6 : au 6éme lancé on a 6chances sur 6 de tomber sur 4 ce qui est faux.
Je pense que tu sais ce que tu veux dire mais que tu l'as mal dit.
Fait un arbre en partant de Un ça devrait suffire a montrer et c'est très efficaces pour comprendre.

Sinon dans la 2 C'est presque juste:
Sn= U(1)+U(2)+U(3)+....+U(n) = [1-q^(n+1)]/(1-q)
C'est pas puissance n+1 a la puissance mais n car il n'y a que n termes (car la somme part de U1)
Du coup sur toute la suite faudra remplacer tes n+1 par n et tout le reste est bon du coup

[youkef-sne]

Ta réponse à la première question n'est pas correcte, et du coup toutes tes autres réponses sont fausses.

Comment décris tu l'événement "obtenir pour la première fois la face 4 au nème lancer" ?

Pour la premiere fois on a une chance sur 6 donc au n-ieme lancer, on a alors 1/(6^n). Enfin je pense

[mrif]

Pour la premiere fois on a une chance sur 6 donc au n-ieme lancer, on a alors 1/(6^n). Enfin je pense

Au n ème lancer tu obtiens le 4, mais il faut également exprimer que pour tous les lancers précédents tu n'as pas obtenu le 4.

Essaie encore et si tu n'y arrives pas je te donnerai la solution.

[youkef-sne]

Donc si j'ai bien compris, on a: U(n)=(1/(6n)) ?

[mrif]

Donc si j'ai bien compris, on a: U(n)=(1/(6n)) ?

Non c'est pas ça.

L'événement, "obtenir pour la première fois la face 4 au nème lancer" veut dire qu'on a ontenu 4 au n ème lancer mais on n'a pas obtenu le 4 dans aucun des lancers précédents.
La probabilité de ne pas obtenir 4 à un lancer est 5/6.
Comme tous les lancers sont indépendants, .
Le même raisonnement nous donne: ,
ce qui met en évidence que la suite est une suite géométrique de raison

[youkef-sne]

Ah iui je n'avais pas pris en compte le fait que les lances precedents n'ayant pas obtenu 4 etaient pris en compte
Après, pour calculer Sn qui est la somme des termes de Un, j'utilise la formule (1-q^(n+1))/(1-q)

[mrif]

Ah iui je n'avais pas pris en compte le fait que les lances precedents n'ayant pas obtenu 4 etaient pris en compte
Après, pour calculer Sn qui est la somme des termes de Un, j'utilise la formule (1-q^(n+1))/(1-q)

Utilise la formule suivante:



Quelle est la valeur du premier terme ?
Quel est le nombre de termes de la somme ?

Une fois que tu auras répondu à ces 2 questions tu pourras utiliser la formule.

[youkef-sne]

Utilise la formule suivante:



Quelle est la valeur du premier terme ?
Quel est le nombre de termes de la somme ?

Une fois que tu auras répondu à ces 2 questions tu pourras utiliser la formule.

Donc, on a:
U(1) = 1/6 * + (4/6)^(1-1) = (1/6)*1 = 1/6
La suite à donc n termes.
On en deduit donc que:
S(n) = U(1)*[(1-q^n)/(1-q)] = (1/6)[(1-(5/6)^n)/(1-(5/6)) = (1/6)[(1-(5/6)^n)/(1/6)] = (1/6)[1-(5/6)^n]*6 = 1- (5/6)^n.
C'est sa ?

[mrif]

Oui c'est ça.

Pour le calcul de il n'est pas nécessaire d'appliquer la formule,
car c'est la probabilité d'avoir un 4 au premier lancer, donc

[youkef-sne]

Oui c'est ça.

Pour le calcul de il n'est pas nécessaire d'appliquer la formule,
car c'est la probabilité d'avoir un 4 au premier lancer, donc

En effet je n'y avais pas penser
Donx du coup pour la question 3: (Sn) est decroissante et converge vers 0 quand n --> +inf.
Ok super merci beaucoup