2ème exercice DM proba et suites

[babouille06]

Bonjour, j'ai un DM à faire pour demain, et je galère un peu, en voici le 2ème exercice (j'ai publié le 1er précédemment). Merci de votre aide. Je précise que >= signifie inférieure ou égale à.


Julia et Lucie aiment jouer l'une contre l'autre au tennis. Lorsqu'elles débutent une partie, Julia a autant de chances de perdre que de gagner le premier jeu.
On admet que lorsque Julia gagne un jeu, la probabilité qu'elle gagne le jeu suivant est 0,6; alors que si elle perd un jeu, la probabilité qu'elle perde le suivant est 0,7.
Pour tout nombre entier naturel n non nul, on note :
- Gn l'évènement : « Julia gagne le n-ième jeu »;
- Pn l'évènement : « Julia perd le n-ième jeu ».

1. a) Déterminer P(G1) et P(P1)
b) Calculer P(G2) et P(P2)
2. u et v sont les suites définies, pour tout nombre entier naturel n non nul, par :
un = P(Gn) et vn = P(Pn)
a) A l'aide d'un arbre pondéré, démontrer que, pour tout nombre entier naturel n >= 1 :
un+1 = 06un + 0,3vn et vn+1 = 0,4un + 0,7vn
b) Démontrer que la suite (un + vn) est constante.
c) Démontrer que la suite (4un – 3vn) est géométrique.
3. a) Quelle est la probabilité que Julia gagne le 5ème jeu ? le 8ème jeu ?
b) La probabilité que Julia gagne un jeu peut elle être inférieure à 3/7 ? Justifier.
c) Si Julia et Lucie jouent un grand nombre de jeux, quelle est, arrondie au millième, la probabilité que Julia gagne le dernier jeu ?

[Cheche]

Tu en es où ?

[babouille06]

J'ai fait que le 1)a. et 1)b. et après je bloque :/
1) a. P(G1) = 1/2 et P(P1) = 1/2 car il est dit dans l'énoncé qu'elle a autant de chance de gagner que de perdre au 1er jeu.
b. P(G2) = P(G1 inter G2) + P(P1 inter G2) = 0,45
P(P2) = 1 – P(G2) = 0,55

[Cheche]

Bien :)
Et la suite ?

[babouille06]

J'ai fait l'arbre pondéré pour la 2)a.
et 2) b. J'ai essayé mais je suis pas sure :
Un+1 + Vn+1 = 0.6Un + 0.3Vn + 0.4 Un + 0.7 Vn = Un + Vn
Donc c'est elle est constante car Un+1 + Vn+1 = Un + Vn