[1ère S] Suites numériques

[Pogo]

Bonsoir à toutes et à tous,


je suis actuellement en première S, et je bloque aux deux dernières questions de mon DM sur les suites numériques. Le problème étant que le DM en question n'est autre que l'épreuve du bac S 2008 intitulée "Suite définie par une moyenne arithmétique".


Or, pour l'une des dernières questions, il faut prouver que u(n) = f(n). J'ai entendu dire par ci par là dans ma classe que les profs particuliers de certains leur avaient dit que le seul moyen de répondre à cette question était d'utiliser une formule dite "de récurrence", qui n'est vue qu'en terminale S. J'ai donc cherché sur internet comment utiliser cette formule, mais n'ai pas trouvé mon bonheur.


C'est pourquoi je sollicite votre aide.


Les données sont les suivantes:

formule de u(n): 6/n*(1²+2²+3²...+n²)
formule de f(n): 2x²+3x+1

Les questions:

4. (a) Démontrer que pour tout n entier naturel non nul, on a u(n) = f(n) où f est la fonction déterminée précédemment.
(b) En déduire une formule simple donnant la somme des carrés des n premiers entiers strictement positifs.

Voilà voilà, merci d'avance ...

[Jonny]

Salut,
en effet il faut procéder par récurrence.

La récurrence n'est pas une formule, c'est une technique de démonstration.
Le principe est facile à comprendre, et une fois que t'en as fait quelques unes, c'est un truc réflexe. Disons que dès que ça parle de suite ou que tu vois du "montrez pour tout n entier naturel", la récurrence est intéressante.

Pour faire une démo par récurrence, on prouve que si une propriété P est vraie à un rang n, alors elle est vraie au rang n+1.
C'est à dire P(n) implique P(n+1).
Imaginons qu'on l'a fait. Si P est vraie au rang n, elle l'est au rang n+1.
Maintenant si on montre que P est vraie au rang 0 (pour n=0) par exemple. Alors on a directement P vraie au rang 1(n+1=1) (car P(0) implique P(1) ).
Par suite P(2) vraie aussi. En prenant n=1 dans notre implication, n+1=2 et donc P est vraie au rang 2.
Et ainsi de suite, tu peux conclure que la propriété est vraie pour tout rang n.


Plus précisément, le raisonnement se fait dans cet ordre.
1/ Initialisation : On montre que la propriété P est vraie pour le plus petit n pour lequel on veut la montrer.
Dans ton exo c'est 1. tu vérifies que P(1) est vraie.
Ici P = "u(n) = f(n)"
Donc tu vérifies u(1)=f(1).

2/Hérédité : On prouve ici P(n)=>P(n+1)
Tu prouves ça de manière classique. Suppose P(n) vraie. En développant u(n+1) ou f(n+1) et en exprimant en fonction de u(n) ou f(n), tu te sers de l'hypothèse "P(n) vraie" pour prouver u(n+1)=f(n+1).
Tu as donc : P(n)=>P(n+1)

3/ Toutes les conditions sont réunies pour conclure et achever par récurrence. P(n) vraie pour tout n entier naturel(toi tu veux pour tout n non nul, c'est pour ça que tu commences la récurrence à 1)

Voilà. J'espère que j'ai pas été trop vague, mais c'est un peu chaud à expliquer par forum.