Suites interdépendantes 2

[kity]

Bonjour,

J'ai aussi un problème avec un autre exercice, ce serait bien si quelqu'un pouvait m'aider un peu.
Voici l'énoncé:

On définit sur N les suites (Un) et (Vn) par U0=1 et V0=2 et, pour tout entier naturel n, Un+1 = (3Un + Vn)/4 et Vn+1 = (3Vn + Un)/4.

1)a. Quelle est la nature de la suite (Vn - Un) ?
En déduire sa limite.

b. Démontrer que la suite (Vn - Un) est positive.

2) Déterminer le sens de variation de (Un) et (Vn).

3) Les suites (Un) et (Vn) sont-elles convergentes ?

4) On considère la suite (tn) définie sur N par tn = Un + Vn.
Démontrer que cette suite est constante et en déduire la limite des suites (Un) et (Vn).


Le problème se pose essentiellement sur la question 1 parce que je ne suis pas vraiment sûre de la manière dont il faut procéder.
Voilà ce que j'ai fait:
Vn+1 - Un+1 = (3Vn + Un - 3Un - Vn)/4
= (2Vn - 2Un)/4
= 1/2 * (Vn - Un)
J'aimerais savoir si ça prouve bien que la suite est géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2 (si on remplace Vn et Un par V0 et U0).

[Sve@r]

Le problème se pose essentiellement sur la question 1 parce que je ne suis pas vraiment sûre de la manière dont il faut procéder.
Voilà ce que j'ai fait:
Vn+1 - Un+1 = (3Vn + Un - 3Un - Vn)/4
= (2Vn - 2Un)/4
= 1/2 * (Vn - Un)
J'aimerais savoir si ça prouve bien que la suite est géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2 (si on remplace Vn et Un par V0 et U0).

Exactement. t'as le droit de dire que Wn est une suite formée de (Vn - Un). Donc Wn est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2

[kity]

Très bien, merci.
Pour la question 1)b., j'ai procédé par récurrence et pour la 2) je suis partie de l'inégalité Vn > Un, puis j'ai fait :
3Un + Vn > 4Un
(3Un + Vn)/4 > 4Un/4
Ce qui fait Un+1 > Un et d'où l'on peut déduire que la suite est croissante.
Ensuite, j'ai repris Vn > Un:
4Vn > 3Vn + Un
4Vn/4 > (3Vn + Un)/4
Ce qui donne Vn > Vn+1 donc la suite est décroissante.
C'est exact ?

Par contre pour la question 3) je bloque un peu...