[TS] Suites et fonction

[Majaspique]

Bonjour,
voici l'énoncé :
On cherche à modéliser l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un Ipad en fonction de l'année . Soit le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un Ipad, l'année .

On pose en 2005, et pour tout :

1. Soit la fonction définie sur par : . Étudier les variations de sur
2. Montrer par récurrence que : pour tout ,
3. Montrer que la suite converge vers
4. On admet que vérifie . Déterminer la limite de la suite . En 2015, quel nombre de foyers français possédant un Ipad peut-on envisager ?

Voici mes résultats :
1. On détermine les valeurs de aux bornes de l'ensemble de définition :






On détermine la dérivée de :





On résout :






On détermine alors f(10) :



On peut alors en déduire le tableau de variation de :


2. On démontre par récurrence que, pour tout , :
Initialisation :
et .
Or donc
Donc la propriété est vraie au rang 0.

Hérédité :
Supposons que pour un certain entier naturel n fixé, , la propriété est vraie au rang , c'est-à-dire :
Démontrons que la propriété est vraie au rang (n+1), c'est-à-dire : :

car est croissante sur

Donc la propriété est vraie au rang

Conclusion :
Pour tout , .

3. Comme alors est croissante et majorée par 10.
Or toute suite croissante et majorée est convergente donc est convergente. On note sa limite.

4.





Or, si une équation de produit est nulle, alors l'un de ses facteurs au moins est nul, donc :
ou
Il n'est pas possible que car et est strictement croissante donc

Cela veut donc dire que :
comme
alors

On peut alors envisager un nombre avoisinant les 10 millions de foyers français possédant un Ipad en 2015.

J'aimerai savoir si cela est correct (surtout la justification de la 4).
Merci d'avance pour votre aide.

[Elias]

Tout me semble OK.
Attention dans ta récurrence partie hérédité quand tu appliques f à ton inégalité. N'utilise pas le symbole équivalence qui est à manipuler avec précaution.
Dans l'hérédité, il ne faut montrer qu'une implication "propriete vraie au rang n" => "propriété vraie au rang n+1" donc ne pas se poser de questions sur le fait que la réciproque est vraie ou pas.

Pour la 4), on est pas obligé de dire que la suite est strictement croissante. Le fait d' être croissante tout court suffit.
Le premier terme est 1 et elle est croissante donc la limite L vérifie donc

Bravo pour la présentation du.message( en latex en plus). C'est propre, lisible et ça donne envie de répondre. C'est tellement rare.

[Majaspique]

Merci et d'accord, je modifie ça.