Suites arithmétiques - Carrelage

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Tania07
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Suites arithmétiques - Carrelage

par Tania07 » 05 Mai 2021, 15:36

Bonjour, j'ai un DM sur les suites arithmétiques et la dernière question me pose problème.

Voici l'énoncé :

Un artisan commence la pose d'un carrelage dans une grande pièce. Le carrelage choisi a une forme hexagonale. L'artisan pose un premier carreau au centre de la pièce puis procède en étapes successives de la façon suivante :
* à l'étape 1, il entoure le carreau central, à l'aide de 6 carreaux et obtient une première forme.
* à l'étape 2 et aux étapes suivantes, il continue ainsi la pose en entourant de carreaux la forme précédemment construite.
On note Un le nombre de carreaux ajoutés par l'artisan pour faire la n-ième étape (n>1). Ainsi U1 = 6.
1) Quelles sont les valeurs de U2 et U3 ?
2) a) On admet que la suite (Un) est une suite arithmétique, déterminer sa raison.
b) Exprimer Un en fonction de n.
3) Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape 5 ? Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape 5 ( en comptant le carreau central initial) ?
4) On pose Sn = U1 + u2 + ... + Un. Montrer que Sn = 3n² + 3n.
5) Si on compte le premier carreau central, le nombre total de carreaux posés par l'artisan depuis le début, lorsqu'il termine la n-ième étape, est donc Cn = Sn + 1.
A la fin de sa semaine, l'artisan termine la pose du carrelage en collant son 2 977ème carreau. Combien a-t-il fait d'étapes ?

Mes réponses :

1) U1 = 6 U2 = 12 U3 = 18
2) a) U2 - U1 = 12 - 6 = 6 U3 - U2 = 18 - 12 = 6
La suite (Un) est donc arithmétique de raison 6.
b) Un = U1 + (n-1) x r
= 6 + (n-1) x 6
Un = 6n
3) S = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90
Si l'on rajoute le carreau du départ, l'artisan aura posé 91 carreaux.
4) Sn = U1 + U2 + ... + Un
= n ((U1 + Un)/2) = n ((6+6n)/2) = 6n/2 + 6n²/2 = 3n² + 3n
5) C'est à cette question que je bloques.
J'ai tenté de faire ce calcul : Cn = Sn + 1
2 977 = Sn + 1
2 976 = Sn
2 976 = 3n² + 3n
2 976 = 3 x n² + 3 x n
Voilà, je bloques à partir de là car quand je continue mon calcul le chiffre trouvé n'est pas rond et ce n'est donc pas logique...

Merci de bien vouloir m'aider :D
~ En vérité le chemin importe peu, la volonté d'arriver suffit à tout ~



Black Jack
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Re: Suites arithmétiques - Carrelage

par Black Jack » 05 Mai 2021, 17:24

Correction :

3)
"S = U1 + U2 + U3 + U4 + U5 = 6 + 12 + 18 + 24 + 30 = 90"

Combien l'artisan a-t-il ajouté de carreaux pour faire l'étape 5 ? :
Réponse : U5 = 6*5 = 30
L'artisan a ajouté 30 carreaux pour faire l'étape 5.

Combien a-t-il alors posé de carreaux au total lorsqu'il termine l'étape 5 ? ( en comptant le carreau central initial)
6 + 12 + 18 + 24 + 30 + 1 = 91 (le + 1 pour tenir compte du carreau initial).
*************
4)
Sn = S1 + S2 + S3 + ... + Sn
Somme de n termes d'une suite arithmétique de premier terme S1 = 6 et de raison 6.
Sn = n * (S1 + Sn)/2
Sn = n * (6 + 6n)/2
Sn = 3n² + 3n
***************
5)
Cn = 1 + Sn (en tenant compte du carreau central)
Cn = 3n² + 3n + 1

Cn = 2977
3n² + 3n + 1 = 2977
3n² + 3n - 2976 = 0 (avec n > 0)
--> n = 31
L'artisan a fait 31 étapes.
*****************
8-)

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Tania07
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Re: Suites arithmétiques - Carrelage

par Tania07 » 05 Mai 2021, 17:32

Super merci beaucoup !
Je n'avais pas fais attention pour le 3) merci de m'avoir corrigée.
Pour le 5) pour passer de 3n^2 + 3n - 2976 = 0 à n = 31 je n'ai pas compris comment vous aviez fait, pourriez vous m'expliquer ?
~ En vérité le chemin importe peu, la volonté d'arriver suffit à tout ~

lyceen95
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Re: Suites arithmétiques - Carrelage

par lyceen95 » 05 Mai 2021, 18:47

3n²+3n-2976=0
C'est une équation du 2nd degré. Delta = b2-4ac= ... ...
On déroule la technique. On trouve 2 solutions, mais la seule qui a un sens dans le contexte de l'exercice, c'est n=31.
Il faut quand même expliquer pourquoi l'autre n'a pas de sens.

A priori, c'est le calcul que tu as fait, mais tu as du faire une erreur de calcul.

 

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