Suites arithméticogéométrique.

[Lagalère]

Bonjour, j'éprouve quelques difficultés à résoudre l'exercice suivant:

Le 1er janvier 2005, une grande entreprise compte 1 500 employés. Une étude montre, que lors de chaque année à venir, 10% de l'effectif du 1er janvier partira à la retraite au cours de l'année. Pour ajuster ses effectifs à ses besoins, l'entreprise embauche 100 jeunes dans l'année. Pour tout entier naturel n, on appelle u(n) le nombre d'employés de l'entreprise le 1er janvier de l'année (2005+n).
1/a) Calculer u(0), u(1), u(2).
La suite u de terme général u(n) est-elle arithmétique? géométrique? Justifier les réponses.
b) Pour tout entier naturel n, exprimer u(n+1) en fonction de u(n).
2/ Pour tout entier naturel n, on pose: v(n)= u(n)-1 000.
a) Démontrer que la suite v de terme général v(n) est géométrique. Préciser sa raison.
b) Exprimer v(n) en fonction de n.
En déduire que, pour tout entier naturel n, u(n)= 500*0,9^n + 1 000.
c) Déterminer la limite de la suite u.
3/ Démontrer que, pour tout entier naturel n, u(n+1)-u(n)= -50* 0.9^n.
En déduire le sens de variation de la suite u.
4/ Au 1er janvier 2005, l'entreprise compte un sureffectif de 300 employés. A partir de quelle année, le contexte restant le même, l'entreprise ne sera-t-elle plus en sureffecif?

Pour l'instant, j'ai trouvé 1/a) u(0)=1 500; u(1)=1 450; u(2)=1 405 et que la suite u de terme général u(n) est arithméticogéométrique(mais, je ne sais pas comment l'expliquer).
b) u(n+1)=0,9u(n) +100
Mais, la suite ne me paraît pas aussi évidente.

Je vous remercie de l'aide que vous voudriez bien m'apporter.

[le_fabien]

1 a.la suite n'est ni geo ni arithm car U1/Uo different de U2/U1 et U1-Uo different de U2-U1
2 a. tu pars de V(n+1)=U(n+1)-1000=0.9U(n)+100-1000=0.9(U(n)-1000)=0.9V(n)
donc V(n) suite géo de raison 0.9

[Lagalère]

Oui, en effet mais, la question 3/ me pose problème, j'ai trouvé que:
u(n+1)= u(n)*q +100
u(n+1)= 0,9u(n) +100
u(n+1)-u(n)= (0,9u(n) +100)-(500* 0,9^n +1 000)
Mais, je n'arrive plus à continuer...

[le_fabien]

petite erreur
U(n+1)=500*0.9^(n+1)+1000 donc U(n+1)-U(n)=0.9^(n)*(500*0.9-500)=-50*0.9^(n)
ceci étant négatif alors U(n) est décroissante
4) il suffit de résoudre U(n)<=300

[Lagalère]

Je vous remercie pour l'aide apportée et le temps passé.