Bonjour, tu peux tout d'abord pour plus de lisibilité réécrire les suites
)
et
)
avec des symboles de sommation :
})
et
L'encadrement peut être utilisé pour
lorsque
puisque dans ce cas,
. Pour la 2)a), comme tu ne connais pas, à priori, une expression explicite de la somme considérée, tu peux raisonner par récurrence : le cas n=1 étant immédiat, si tu considères un entier n fixé tel que
, alors
^3=1^3+\ldots+n^3+(n+1)^3\leqslant n^4+(n+1)^3)
par hypothèse de récurrence. Il ne reste plus qu'à montrer que
^3\leqslant (n+1)^4)
pour conclure la récurrence. Comme
, alors
^3)
d'où
^3=n\times n^3+(n+1)^3\leqslant n(n+1)^3+(n+1)^3=(n+1)(n+1)^3=(n+1)^4)
. Pour la 2)b), tu peux utiliser l'autre inégalité de (E), à savoir
\geqslant x-\frac{x^3}{6})
valable en particulier pour
pour la même raison qu'en 1). Ainsi,
})
Or pour
d'où
=v_n-\frac{1}{6n^2})
Enfin, pour la 3), comme
}{2})
, alors
}{2n^2})
. Si tu essayes de calculer la limite de cette expression, tu as une forme indéterminée de la forme
donc il faut factoriser par le terme de plus haut degré, au dénominateur comme au numérateur il s'agit de
donc
et
car
. Enfin en réunissant les inégalités des questions 1) et 2)b), tu as
et comme
alors d'après le théorème des gendarmes,
.
