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[youkef-sne]

J'ai un petit exo que j'ai fais mais je sais pas si j'ai juste donc je.compte sur vous:

Enoncé:
Un artisan chocolatier empile des truffes pour former un tétraèdre régulier une pyramide à base triangulaire.
1) si la pyramide fait dix étages en numérotant les étages à partir du haut, combien doit-il disposer de truffes au première étage ? Et au dixième ? Et au cinquième ?
2)Emettre une conjecture sur le nombre de truffes presentes au k-ième étages, ou k est un entier superieur a 1.
3) démontrer que le nombre de truffes au k-ième étage est de 0,5[k(k+1)] avec k>=1
4) émettre une conjecture sur le nombre de truffes nécessaires pour réaliser une pyramide à n etages.
5)Demontrer que le nombre de truffes nécessaires pour construire une pyramideà n etages est de:
(1/6)[n(n+1)(n+2)].

Ce que j'ai fais.
1)Au premier etage on a 1 truffes.
Si on compte du premier jusqu'au dixième etage, on a: 55 truffes.
Si on compte du premier jusqu'au cinquième étage, on a: 15 truffes.

2) On peut emettre la conjecture suivante: Le nombre de truffes au k-ième etage est: 0,5[k(k+1)].

3Demontrons le par recurrence:
Initialisation: Au premier etage on a une truffe (D'apres la question 1), et 0,5[1(1+1)]=0,5*2=1
Heredité : Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, alors le.nombre de truffes au p-ième étge, on a alors le nombre de truffes est de 0,5[p(p+1)]. Démontrons qu'elle est vrai au ramg p+1
On a: 0,5[p(p+1)]+p+1=0,5[p(p+1)]+[2(p+1)]/2 = 0,5[p(p+1)+2(p+1)] = 0,5[(p+1)(p+2)]. La propriété est donc vrai au rang p+1.
Conclusion: La propriété est initialisé au rang n=1, et si elle est vraie pour un certain rang p, alors elle est vrai au rang p+1 et donc elle est hereditaire.
En conclusion la propriété est vrai pour tout k>=1 et le nombre de truffes au k-ieme etage est de 0,5[k(k+1)] pour tout k >=1.

4)Pour une pyramide de 2 etages, il aura besoin de 4 truffes.
Piur une pyramide de 3 etages, il aura besoin de 10 truffes.
Pour une pyramide de 4 etages, il aura besoin de 20 truffes.

5) on peut emettre la conjecture suivante: Pour une pyramide à n etages, il nous faudra(1/6)[n(n+1)(n+2)] truffes.

6)Demontrons le par recurrence:.
Initialisation: Pour le premiere étage, on aura besoin de 1 truffes et et (1/6)[1(1+1)(1+2)]=(1/6)(2*3)=1.
Heredité: Supposons que la propriété soit vrai pour un certain rang p, on a alors: (1/6)[p(p+1)(p+2)] truffes au n-ième étage. Demontrons que cette pripriété est hereditaire et donc qu'elle est vrai au rang p+1:
On a: (1/6)[p(p+1)(p+2)] + p+1 truffes au (p+1)-étages.
Donc (1/6)[p(p+1)(p+2)]+[6(p+1)/6] = (1/6)[(p+1)(p(p+1)+6)]. Et ce n'est pas le resultat attendu en fait.

Voila donc merci pour ceux qui m'aideront a voir mes erreurs si j'en ai et voir pourquoi la derniere question je n'y arrive pas.