Suite

[t.itou29]

Bonjour,
Je n'ai aucune idée pour résoudre cet exercice:
Soit une fonction définie sur N* satisfaisant:


Calculer f(2005)
J'ai essayé de calculer f de 1,2,3... pour essayer de trouver une formule qui exprime f(n) en fonction de n mais rien. L'exercice fait parti d'une série sur les suites arithmétiques et géométriques mais je ne vois pas comment les faire intervenir.
Merci de m'aider.

[Sourire_banane]

Salut,

Un petit télescopage s'impose : Il te faut remarquer que et que d'un autre côté, c'est égal à .
Il te faudra aussi voir que cette somme vaut si je me suis pas trompé.

[Black Jack]

f(1) = f(1)/1

f(1) + f(2) = 2²*f(2)
f(2) = f(1)/3

f(1)+f(2)+f(3) = 3²*f(3)
f(1).(1 + 1/3) = 8.f(3)
f(1).(4/3) = 8.f(3)
f(3) = f(1)/6

f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = 4²*f(4)
f(1).(1 + 1/3 + 1/6) = 15.f(4)
f(1)*(9/6) = 15*f(4)
f(4) = f(1)/10

...
f(5) = f(1)/15

Et j'essaie de conjecturer la suite des 1, 3 , 6 , 10, 15 commencée ci-dessus.

Je conjecture que cette suite est issue de U(1) = 1 et U(n+1) = U(n) + n + 1

Si c'est le cas alors :
U(2005) = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + 2004) + 2004 = 2005 + 2004*2005/2 = 2011015

Et alors f(2005) = 2005/2011015 = 1/1003
*****
Mais il reste maintenant à vérifier si la conjecture faite est correcte et le démontrer.

[nodjim]

Le téléscopage est sans doute la voie la plus facile pour parvenir au résultat.
f(n)=(n-1)/(n+1) f(n-1)

[t.itou29]

f(1) = f(1)/1

f(1) + f(2) = 2²*f(2)
f(2) = f(1)/3

f(1)+f(2)+f(3) = 3²*f(3)
f(1).(1 + 1/3) = 8.f(3)
f(1).(4/3) = 8.f(3)
f(3) = f(1)/6

f(1)+f(2)+f(3)+f(4) = 4²*f(4)
f(1).(1 + 1/3 + 1/6) = 15.f(4)
f(1)*(9/6) = 15*f(4)
f(4) = f(1)/10

...
f(5) = f(1)/15

Et j'essaie de conjecturer la suite des 1, 3 , 6 , 10, 15 commencée ci-dessus.

Je conjecture que cette suite est issue de U(1) = 1 et U(n+1) = U(n) + n + 1

Si c'est le cas alors :
U(2005) = 1 + (1 + 2 + 3 + ... + 2004) + 2004 = 2005 + 2004*2005/2 = 2011015

Et alors f(2005) = 2005/2011015 = 1/1003
*****
Mais il reste maintenant à vérifier si la conjecture faite est correcte et le démontrer.

Merci, je viens de vérifier sur wolfram alpha c'est bon reste plus qu'à démontrer. En fait il me trouve , je connais le téléscopage que par définition je n'ai jamais fait d'exercices avec, du coup je ne comprends pas très bien la démo proposé par sourire banane

[capitaine nuggets]

Salut !

je connais le téléscopage que par définition je n'ai jamais fait d'exercices avec, du coup je ne comprends pas très bien la démo proposé par sourire banane

Or d'après l'énoncé donc :






Par suite, de proche en proche :




...



On obtient alors par récurrence que :

Merci, je viens de vérifier sur wolfram alpha c'est bon reste plus qu'à démontrer. En fait il me trouve , je connais le téléscopage que par définition je n'ai jamais fait d'exercices avec, du coup je ne comprends pas très bien la démo proposé par sourire banane

D'où pour tout ,


:+++:

[t.itou29]

Salut !





Or d'après l'énoncé donc :






Par suite, de proche en proche :




...



On obtient alors par récurrence que :





D'où pour tout ,


:+++:

Merci j'ai compris ! Je crois que même en passant une semaine dessus j'aurais pas trouvé !