Suite du second degrès

[newnow974]

Exercice 1
Dans tout cet exercice, n est un entier supérieur ou égal à 2.
On considère la fonction fn définie sur [0; 1], par fn(x) = x^n + x − 1.
1) Dans cette question uniquement, on pose n = 2.
a. Etudier les variations de f2 sur [0; 1].
b. Justifier à l’aide du T.V.I. que l’équation f2(x) = 0 admet une unique solution sur [0; 1].
c. Calculer cette solution.
2) Construction d’une suite
a. Pour tout n > 2, étudier les variations de fn sur [0; 1].
b. Justifier que l’équation fn(x) = 0 admet une unique solution sur [0; 1].
On a ainsi définie une suite (αn) où pour tout n > 2, αn est l’unique racine de fn sur [0; 1].
3) Etude de la suite (αn).
a. Soit x ∈]0; 1[. Montrer que pour tout n > 2, on a fn+1(x) < fn(x).
b. En déduire que fn+1(αn) < 0 puis que la suite (αn) est croissante.
c. Justifier que la suite (αn) est convergente.
4) Dans cette question, on veut prouver que lim n→+∞
αn = 1.
a. Prouver que pour tout ε ∈]0; 1[, il existe un n0 > 2 à partir duquel fn(1 − ε) < 0.
b. En déduire que pour tout n > n0, on a 1 − ε < αn < 1.
c. Conclure.

[Pisigma]

Bonjour,

tu n'étais pas content de la réponse de mathafou

tu voulais qu'on résolve l'exercice à ta place