Jéspère que votre aide me sera bénéfique
merci d'avance
Le prix dachat dune machine est de 13 000 e.
Son coût dentretien et de maintenance est de 1 250 e la première année et augmente ensuite de 25 %
chaque année.
On suppose que la machine peut être rachetée à lidentique (même prix dachat) et quil ny a pas de marché de loccasion (sa valeur est supposée nulle en cas de renouvellement).
On suppose que lentretien et la maintenance assurent son bon fonctionnement. Le coût total de la machine est égal à son prix dachat augmenté de la somme de tous les coûts dentretien ; son coût moyen est le coût total divisé par la durée de son utilisation.
En supposant que la durée dutilisation optimale est celle qui correspond au minimum du coût moyen,lobjectif de lexercice est de déterminer la durée optimale dutilisation de la machine pour un fonctionnement maximum de huit ans.
1. Les prévisions des coûts ont été calculées à laide dun tableur. Un extrait de la feuille de calcul est reproduit dans le tableau ci-dessous.
Années ....................... 1.......... 2.......... 3.......... 4......... 5............ 6.......... 7.......... 8
Coût anunuel de l'ent
& de la maintenance .... 1250. 1562,5. 1953,1.... 2441,4.3051,8... 3814,7. 4768,4..5960,5
Coût total cumulé de
l'ent& de la maintenance .1250.. 2812.5.4765,6. 7207.10258,8. 14073,5.18841,9. 24802,3
Coût total, achat
compris .................14250. 15812,5. 17765,6. 20207.23258,8. 27073,5. 31841,9. 37802,3
Coût moyen.........14250.. 7906,3.... 5921,9.. 5051,8.. 4651,8... 4512,2... 4548,8... 4725,3
La deuxième année le coût de lentretien et de la maintenance est 1 562,5e, le coût total cumulé de lentretien et de la maintenance est alors:
1 250 + 1 562,5 , soit 2 812.5
le coût total, achat compris:
2 812,5 +13 000 , soit 15 812,5
et le coût moyen sur les deux année d'utilisation:
15 812,5 / 2 , soit environ 7 906,3
Quelle conjecture peut-on faire sur la durée optimale d'utilisation de la machine pour un fonctionnement maximum de huit ans ?
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2. On note (un) la suite des coûts annuels, en euros, dentretien et de maintenance. Ainsi, u1 =1 250 et u2 =1 562,5.
Démontrer que (un) est une suite géométrique. Exprimer un en fonction de n.
En déduire que :
u1 + u2 + · · · + un = 5 000×(1,25n
1).[CENTER] -----------------------[/CENTER]
3. On note Cm(n) le coût moyen de la machine lannée n.
Démontrer que Cm(n) =
8 000/n + 5 000×1,25n/n
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