Suite de fibonacci et démonstration par récurrence

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patou47
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suite de fibonacci et démonstration par récurrence

par patou47 » 01 Fév 2012, 01:17

Bonsoir j'ai un petit problème sur un exercice de maths concernant la suite de Fibbonacci.
Voici une part de l'énoncé:
On considère la suite(Fn)n appartenant à N, définie par F(0)=1; F(1)=1 et F(n+2)=F(n+1)+F(n) quel que soit l'entier naturel n.
On notera que la troisième information signifie que tout terme de la suite, à partir du troisième, est la somme des deux termes qui le précède.
1.Calculer F(2); F(3); F(4) et F(5).
2.Démontrer par récurrence que Fnn quel que soit l'entier naturel n.
Que peut-on en déduire à propos de la suite (Fn)

La première question ne m'a pas posé problème. Cependant la seconde m'a posé quelques soucis au niveau de la justesse de mon raisonnement.
Voici ma réponse:
2.initialisation: au rang 0, F(0)=1supérieur ou égal à 0
Hypothèse de récurrence. Supposons qu'au rang p, p,
F(p) supérieur ou égal à p alors F(p)+1 supérieur ou égal à p+1
Or pour tout p appartenant à N*, F(p+1)=F(p)+F(p-1)
avec Fp-1 supérieur ou égal à 1 puisque F(0)=1; F(1)=1
Ainsi pour tout p appartenant à N* F(p+1) supérieur ou égal à F(p)+1
Donc par transitivité, pour tout p appartenant à N F(p+1) supérieur ou égal à p+1
Ce qui me tracasse ici c'est que j'ai du utilisé le quantifiant * dans mon raisonnement pour démontrer l'inégalité sur . Ce raisonnement est il quand même juste? J'ai entendu parler également de récurrence forte mais je n'en ai jamais utilisé.
Merci d'avance, bonne soirée .



romani01
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par romani01 » 01 Fév 2012, 04:02

Salut.
Dans ton itialisation tu as F(0)=1 et F(1)=1 pour n=0 et n=1. et .La propriété est vraie aux 1er et 2eme rang.
Hérédité.
Maintenant pour tout il faut supposer ET ....
A toi .....

patou47
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par patou47 » 01 Fév 2012, 16:02

Bonjour, merci pour votre réponse :). J'ai tout de même quelques questions à vous poser:
pourquoi dans l'hypothèse de récurrence supposé vous à partir du rang p supérieur ou égal à 1 et pas pour tout p appartenant à N?
Ne faut il pas supposer également que F(p-1) supérieur ou égal à p-1 (en plus de F(p) supérieur ou égal à p)? Car avec la simple supposition F(p) supérieur ou égal à p j'arrive à F(p)+1 supérieur ou égal à p+1
or F(p+1)-F(p)-1=F(p)+F(p-1)-F(p)-1=F(p-1)-1 et sans supposition sur F(p-1) je ne peux pas conclure sur le signe de la différence (ps: je calcul le signe de la différence pour montrer que F(p+1) supérieur ou égal à F(p)+1 et donc raisonner par transitivité :)).
Merci d'avance :). Bonne journée.

romani01
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par romani01 » 02 Fév 2012, 02:44

Salut.
Dans l'initialisation normalement on a montré que pour n=0 ET n=1 la propriété est vraie c'est-à-dire
.On part donc de pour montrer l'hérédité.
Dans les raisonnements classiques,une fois établie F(0) on montre l'hérédité en partant de .
Dans ton raisonnement tu veux partir de F(p) pour arriver à F(p+1) et dans notre cas ça ne peut pas
marcher car tu as une relation de récurrence entre 3 termes.D'ailleurs je ne vois pas trop la transitivité ici.
Dans ton 1er post tu as écrit "puisque F(p-1) est supérieur à F(1)".Qui te dit que c'est vrai?La suite
est croissante?
J'espère avoir été clair sinon quelqu'un t'expliquera certainement mieux que moi.
Sauf erreur de ma part.

patou47
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par patou47 » 02 Fév 2012, 17:30

Bonjour merci beaucoup pour votre réponse :). Voici ma transitivité:
je suppose que F(p) supérieur ou égal à p alors F(p)+1 supérieur ou égal à p+1
J'étudie le signe de la différence F(p+1)-F(p)-1= F(p)+F(p-1)-F'p)-1
=F(p-1)-1
C'est pour cela que dans mon raisonnement je doit également partir de la supposition F(p-1) supérieur ou égal à p-1 et initialiser également au rang 2 pour lancer ma proposition au rang 2.
On aurait ainsi pour p supérieur ou égal à 2 F(p-1)-1 supérieur ou égal à 0 ainsi F(p+1) supérieur ou égal à F(p)+1 et donc par transitivité F(p+1) supérieur ou égal à p+1.
C'est pour cela que je vous demandez si il fallait initialiser aussi pour n=2 et supposer aussi F(p-1) supérieur ou égal à p-1 ? ;).
Merci grandement en tout cas pour votre aide :).
ps: peut être qu'une récurrence marche en initialisent juste pour n=0 et n=1 et en supposant simplement que F(p) supérieur ou égal à p mais je ne la vois pas. Ou voulez vous dire qu'il faut partir de la supposition F(p) supérieur ou égal à p et F(p+1)supérieur ou égal à p+1 et montrer que F(p+2) supérieur ou égal à p+2 ?

romani01
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par romani01 » 03 Fév 2012, 03:03

Salut.
Je vous ai expliqué qu'en initialisant pour n=0 et n=1 on prenait après et non
ce qui fausse votre raisonnement qui peut etre négatif.
Voilà:
on suppose et on ajoute membre à membre
et et comme alors donc donc .

patou47
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par patou47 » 03 Fév 2012, 20:33

Ok merci beaucoup pour toutes vos réponse :). Peut on également initialiser pour n=2 et faire ma méthode? F(p-1)-1 serait alors supérieur ou égal à p-2 pour tout p supérieur ou égal à 2 non ? :)
Bonne soirée :).

 

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