Suite convergente/limite de suite

[Elufr]

Salut! J‘ai un dm de maths à faire et je bloque sur ces questions...
Soit la suite u(n) definie pour tout entier naturel n par:
u(0)=1/2 et u(n+1)=(1/2)*[u(n)+2/u(n)]


1. a. Soit la fonction f définie sur ]0;+infini[ par: f(x)=(1/2)*[x+2/x]. Etudier le sens de variation de f.
b. (Graphique donné en annexe où il fallait placer des points pour obtenir u(1), u(2), u(3): je l‘ai déjà fait)

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul: u(n)≥√(2)
b. Montrer que pour tout x≥√(2) ,on a: x≥f(x)
c. En déduire que la suite u(n) est décroissante à partir du rang 1
d. Prouver que u(n) converge

3. Soit l la limite de la suite u(n). Montrer que l est solution de l‘equation:
x=(1/2)*[x+(2/x)]

merci d‘avance pour toute aide

j‘ai fini la Q1 je suis passée par la derivee et j‘ai trouvé que f est décroissante sur ]0;√2] et croissante sur [√2;+infini[.
Pour la Q2a j‘ai commencé à essayer de passer par l‘hérédité mais je bloque dessus donc je ne sais pas si c‘est la bonne methode...
Pour la Q2d il suffirait de prouver que u(n) admet une limite l non?
Pour la Q3 je pense avoir fini aussi:
on sait que si u(n) converge vers un reel x et si f est continue en x, alors f(x)=x
f(x)=x
x=(1/2)*[x+(x/2)]
x=((x^2)+2)/(2x)
2x^2=(x^2)+2
x^2=2
or x appartient à ]0;+infini[ donc
x=√2
or l=√2 Alors x=√2=l donc l est la solution de l‘equation

[titine]

2. a. Montrer que pour tout entier naturel n non nul: u(n)≥√(2)

Par récurrence ça marche très bien :
u(0) = 1/2 ≥ √(2)
Si u(n) ≥√(2) alors u(n+1) aussi.
En effet u(n+1) = f(u(n)) et tu as vu à la question 1 que le minimum de f est f(√(2) ) = √(2) (voir tableau de variations de f)

d. Prouver que u(n) converge

La suite (un) est décroissante (voir c) et minorée par √(2) (voir a) donc elle converge.
Théorème : Toute suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) est convergente.
Remarque : Donc la suite (un) admet une limite l. Tout ce qu'on peut dire de l à ce stade c'est que l ≥√(2)

Pour la Q3 je pense avoir fini aussi:
on sait que si u(n) converge vers un reel x et si f est continue en x, alors f(x)=x
f(x)=x
x=(1/2)*[x+(x/2)]
x=((x^2)+2)/(2x)
2x^2=(x^2)+2
x^2=2
or x appartient à ]0;+infini[ donc
x=√2
or l=√2 Alors x=√2=l donc l est la solution de l‘equation

Mal rédigé !
Dis plutôt :
on sait que si u(n) converge vers un réel l et si f est continue en l, alors f(l)=l
f(l)=l
l=(1/2)*[l+(l/2)]
l=((l^2)+2)/(2l)
2l^2=(l^2)+2
l^2=2
Donc l=-√2 ou l=√2
Mais comme on a vu que pour tout n, u(n)≥√(2) , la limite de la suite (un) ne peut pas être négative.
Conclusion l = √(2)

[Elufr]

Merci beaucoup! C’est bien plus clair maintenant! Du coup je suis toujours bloquée sur la 2b)
Mais j’ai reussi a justifier la 2c du coup en attendant...

[titine]

Attention ! J'ai écrit :

u(0) = 1/2 ≥ √(2) 

Ce qui est faux bien sûr ! 1/2 est inférieur à √(2) !
Par contre on a bien u(1) ≥ √(2)
Et comme on veut montrer que la propriété est vraie pour tout n non nul on initialise à n=1.

Suis je claire ?

Pour b. tu ne peux pas faire un raisonnement par récurrence.
Ce type de démonstration s'utilise quand on veut montrer qu'une propriété est vraie pour tout n appartenant à N.
Ce n'est pas le cas ici.
On veut montrer que pour tout réel x supérieur ou égal à √(2) on a x≥f(x) 
As tu essayé de montrer que x - f(x) ≥ 0

Pour c. On a u(n+1) = f(u(n))
De plus d'après a. pour tout n ≥ 1 , u(n) ≥ √(2)
Et d'après b. si x ≥ √(2) alors x≥f(x)
Donc, comme u(n) ≥ √(2) on a : u(n) ≥ f(u(n)) c'est à dire u(n) ≥ u(n+1)