Je viens vous voir car je suis bloqué à mon exercice de maths dans le cadre d'un Devoir Maison.
Soit a et b des nombres réels, et Z=a+ib un nombre complexe. On rappelle que a= Re(z) est la partie réelle de z, et que b= Im(Z) est la partie imaginaire de z.
On considère la suite de nombres complexes (Zn). Pour tout nombre entier naturel n, on pose : Xn= Re(Zn) et Yn= Im(Zn).
La suite (Zn) vérifie Z0=1 et pour tout nombre entier naturel n :
- X(n+1)=Xn+Yn
- Y(n+1)=-Xn+Yn
1. Calculer Z1 et Z2
2. Vérifier que Z2/Z1=Z1/Z0.
3. Simplifier Z(n+1)/Zn en utilisant les expressions respectives de X(n+1) et Y(n+1) en fonction de Xn et Yn.
En déduire qu'il existe un nombre complexe a tel que, pour tout nombre entier naturel n, Z(n+1)=aZn.
4. On définit la suite de nombres réels (Un) en posant, pour tout nombre entier naturel n, Un=|Zn|.
En utilisant les expressions respectives de X(n+1) et Y(n+1) en fonction de Xn et Yn, exprimer U(n+1) en fonction de Un.
Que peut-on en déduire pour la suite (Un) ?
5. Le plan est muni du repère orthonormé (O; u (vecteur) ; v (vecteur)).
Pour tout n dans l'ensemble N, on note Mn le point d'affixe Zn.
A l'aide d'une calculatrice, déterminer le plus petit entier naturel n pour lequel OMn>(ou égal)10^10.
1. On sait que Z= a+ib. Du coup, pour Zn, je me suis dit que a, qui est la partie réelle, correspond à Xn et b, qui est la partie imaginaire, correspond à Yn. Ce qui donnerait Zn=Xn+Yn
Suis-je sur la bonne piste ?
Continuant mon raisonnement, puisque X(n+1)= Xn+Yn et que Zn= Xn+Yn, Zn=X(n+1).
On sait aussi que Z0=1.
Ce qui donne : Z0= X0+Y0
Z0=X1
Or Z0=1
Donc X1=1.
Seulement, à partir d'ici, pas moyen de calculer Y1 ou même d'autres termes, malgré que j'ai brassé les informations dans tous les sens.
Z1=1+Y1, mais je n'arrive pas à aller plus loin. Ce qui m'empêche donc de calculer Z1 et Z2 par la même occasion.
Ah oui et je me suis dit aussi que Z(n+1)=X(n+1)+Y(n+1)
Donc Z(0+1)=X0+Y0-X0+Y0
ce qui donne Z1=2YO
N'ayant pas la valeur de Y0, je ne peux non plus continuer.
Ma question est donc : Ne suis-je pas parti à l'opposé de ce que je devrais faire ? Et si c'est le cas, quelle serait la piste à suivre ?