Spé : PGCD PPCM

[Anonyme]

Bonjour, pouvez-vous m'aider s'il vous plait, je n'arrive vraiment pas :

Résolution de l'équation ax+by=c dans Z*Z
Dans cette équation, c n'est pas nécessairement le PGCD de a et b, a et b sont des entiers donnés, a>b>0.

1)Prouver que si c n'est pas multiple de PGCD (a,b) alors ax+by=c n'a pas de solution.

2) On suppose c multiple de d = PGCD (a,b). Résoudre l'équation ax+by=c dans Z*Z.

3)Dans un repère choisi, la droite (D) a pour équation 47x+35y=3
Trouver tous les points de (D) dont les coordonnées sont des nombres entiers.

Merci par avance de votre aide précieuse.

[Anonyme]

J'ai trouvé pr le 3 ( en fait c'est 47x+35y=1 et non =3)...Pouvez-vous m'aider pour le 1 et 2 s'il-vous-plait ?!

[Chimerade]

1)Prouver que si c n'est pas multiple de PGCD (a,b) alors ax+by=c n'a pas de solution.

Soit P le PGCD de a et b. Alors a=Pa' et b=Pb' et a' et b' sont premiers entre eux.
Si c=ax+by, alors c=Pa'x+Pb'y=P(a'x+b'y) ce qui montre bien que P divise c. Donc si P ne divise pas c, il est impossible que c=ax+by.

2) On suppose c multiple de d = PGCD (a,b). Résoudre l'équation ax+by=c dans Z*Z.

a=da', b=db', a' et b' premiers entre eux, et c=dc' :
ax+by=c
da'x+db'x=dc'
a'x+b'y=c'

La méthode générale pour trouver X et Y tels que a'X+b'Y=1 sort je pense du cadre du programme, d'ailleurs c'est un peu long à expliquer...
Je suppose que tu as trouvé par tâtonnements deux telles valeurs de X et Y. Après ça va tout seul :
a'X+b'Y=1
a'(c'X)+b'(c'Y)=c'
a'(c'X+k*b')+b'(c'Y-k*a')=c'
L'ensemble des solutions est donc : x=c'X+kb', y=c'Y-ka', avec n'importe quelle valeur de k de Z !