Equations diophantiennes, PGCD et PPCM (TS spé maths)

[plancton]

Bonsoir à tous!
J'ai un petit souci avec mon exo de spé maths à faire pour lundi

Dans la première partie du problème, on demande de résoudre dans N² (E): 41x-27y=8.J'ai trouvé: S={27k+16; 41k+24 avec k N}.
Ensuite, voici les questions:
a)(x;y) étant un couple solution de (E), quelles sont les valeurs que peuvent prendre la PGCD de x et y?

PGCD de 27k+16 et 41k+24:
Tout diviseur de 27k+16 et 41k+24 diise toutes leurs combinaisons linéaires, en particulier:
41(27k+16)-27(41k+24)=1107k+656-1107k-648=8
Le PGCD de x et y peut prendre les valeurs de tous les diciseurs de 8, soit 1,2,4 et 8.

b)Parmi les couples solution de (E), déterminer:
-ceux dont le pgcd est 8 et le ppcm 10208 (on résoudra x.y=8.10208)
-ceux dont le pgcd est 2

Là, je ne vois pas comment faire...Pourriez-vous m'aider SVP?
Merci d'avance!

[Luc]

Salut,

Je suis d'accord avec tes résultats de la première question.

Parmi les couples solution de (E), déterminer:
-ceux dont le pgcd est 8 et le ppcm 10208 (on résoudra x.y=8.10208)

Tu connais la forme d'une solution en fonction du paramètre k.
Il faut utiliser . Si un couple solution a un pgcd égal à 8 et un ppcm égal à 10208, alors on connait . En remplaçant la valeur d'un couple en fonction de k, tu obtiens une équation du second degré en k... Attention à bien vérifier la réciproque.

-ceux dont le pgcd est 2

Il faut utiliser la forme d'une solution en fonction de k.

Bon courage!

[plancton]

J'ai essayé de faire la première partie du b).J'obtiens effectivement une équation de degré 2: 1107k²+1304k-81280=0.
En factorisant, j'obtiens (k-8)(1107k+10160) donc les solutions de l'équation sont 8 et -10160/1107 (environ -9,2).
Cela signifie que le couple (8 ; -10160/1107) a pour pgcd 8 et pour ppcm 10208? Il n'y a qu'un seul couple solution de (E) de ce type? :hein:

[Luc]

Salut,

N'oublie pas que k est un entier naturel...
Une fois que tu as calculé k, il est facile de retrouver x et y, tu l'as écrit dans ton post.

[plancton]

Merci! Mais où avais-je la tête :marteau: ...
Donc je trouve:
x=27.8+16=232 et y=41.8+24=352
Le couple (232; 352) est solution.
Pour la deuxième partie par contre je suis bloquée!