Pb en spé maths (term S)

par **lapetite** » 07 Nov 2005, 20:07

bonsoir...
J'ai un DM de spé maths a rendre pour demain...g deja fai le début mais je bloque sur les dernieres questions.
Voici la premiere question qur laquelle je galère, en espérant que si quelqu'un peut m'aider sur celle ci je pourrais finir mon devopir toute seule !!!! :id:

On suppose que A= (2005)²°°5 ; on désigne par :
B la somme des chiffres de A
C la somme des chiffres de B
D la somme des chiffres de C
Sachant que 2005<10000, démontrer que A s'écrit en numération décimale avec au plus 8020 chiffres. En déduire que B<72180. :marteau:

Merci d'avance.....

par **fan de maths** » 07 Nov 2005, 20:50

Bonsoir,
C'est pas très compliqué.
Tu sais que 10000>2005
donc 10000^2005>2005^2005
donc (10^4)^2005>2005^2005
donc 10^8020>2005^2005
10^8020 comporte est le plus petit nombre comportant 8021 chiffres (8020 zéro et le 1 devant) et comme l'inégalité est stricte 2005^2005 comporte au plus 8020 chiffres.
De plus, le plus grand nombre de 8020 chiffres est 8020 neuf à la suite donc B étant la somme de de ses 8020 chiffres,
B<=8020*9
B<=72180
mais je n'ai pas prouvé le fait que l'égalité soit strict.
Comme 2005 se termine par un 5 et que tout nombre se terminant par 5 augmenté à une puissance appartenant aux entiers naturels se termine par 25
donc
B<=8018*9 +5+2
B<=72169
donc là B<72180
Voilà

par **lapetite** » 07 Nov 2005, 21:02

merci beaucoup...je vais essayé de me débrouiller pour la suite...

par **lapetite** » 07 Nov 2005, 21:36

je suis désolée de vous déranger encore....
j'ai reussi quelques questions suivantes...mais je bloque sur la toute derniere du DM :
Après avoir démontrer que B<72180,
j'ai réussi à démontrer que C<=45,
et aussi à montrer que D admet un majorant < à 15 (Ce majorant est 12).

La derniere question est : démontrer que D=7. je ne sais pas comment m'y prendre... :help:

Merci....

par **Galt** » 07 Nov 2005, 21:57

Il s'agit ici de faire des congruences modulo 9
Tu sais que quand tu prends la somme des chiffres d'un nombre, le nombre et la somme de ses chiffres sont congrus modulo 9 (parce que 10, 100 et toutes les puissances de 10 sont congrues à 1 modulo 9)
Tu peux donc écrire que 2005 est congru à 7 modulo 9
Reste à explorer les puissances de 7 modulo 9
7^2 =49 est congru à 4 (mod 9)
7^3 = 343 est congru à 1
J'en déduis brillamment que 7^(3n) est aussi congru à 1
donc 7^2005 ?
Et voila

par **lapetite** » 07 Nov 2005, 22:08

c'est vrai je n'y avais pas pensé.... merci...

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