Ts spé : congruences

[Rockleader]

Démontrer que pour tout n appartenant à N, 10^n -(-1)^n est divisible par 11.


Je sèche complètement sur cet exo et j'ai controle en spé demain, je sens que je vais encore ramasser --'




J'ai peut être une méthode, mais c'est un peu du charabia..


je dis que 10 est congru à 10 modulo 11 car 10 = 0*11+10
je dis que -1 est congru à 10 modulo 11 car -1= -1*11+10

Donc par propriété 10-(-1) est congru à 10 modulo 11. Ensuite je peux mettre la puissance n par multuplication. ET j'obtiens la forme recherché congru à 10 modulo 11. Mais est ce que c'est correct ?

[Nightmare]

Salut,

je ne comprends pas, comment passes-tu à la puissance n ensuite pour avoir 10^n - (-1)^n? Car si je fais (10-(-1))^n c'est pas ça que j'obtiens...

Bref, plutôt que de dire que 10 = 10 mod 11, il pourrait être plus judicieux pour l'exercice d'écrire que 10 = -1 mod 11

Donc 10^n=(-1)^n mod 11

[Rockleader]

AH oui, comme ça c'est bien plus clair.



pour ma méthode, je pensais élever les deux à la puissance n, à la fois 10 et -1 et pas juste la différence des deux que j'aurais mis à la puisance, mais je sais pass si j'ai le droit, c'est pour ça que j'ai dis que c'était du charabia.

Ta méthode me semble bien mieux ! Merci.

[didou31]

c'est démontrable à partir d'une identité remarquable du style :

x^n - 1
------- = 1 + x + x² + ... + x^(n-1)
x - 1

Mais généralisé, bien sûr. J'ai fait l'essai avec n = 5, et effectivement ça marche.

En tout cas, si c'est divisible, il y a qu'à diviser.

[Rockleader]

Ouai le truc de l'exemple pour démontrer ça marche si c'est un contre exemple, mais un exemple seul ne démontre rien.


Ce qu'à fait Nightmare est la bonne méthode, enfin du moins celle ue je suis censé avoir apprise...

[Rockleader]

Re bonsoir, décidémment c'est soirée révision =) je crée pas un autre sujet vu que je suis toujours dans les congruences.


Démontrer que si n=2[5] eou si n=3[5] alors n²+1 est un multiple de 5.


Pour cette étape j'ai dis que dans les deux cas on tombat sur n²+1=1[5].

Je sais que je peux en déduire que 5 divise n²+1: mais je ne sais pas pourquoi, c'est surement une définition en rapport avec la congruence mais je ne vois pas laquelle.




Démontrer que pour tout n appartenant à N, n(n^4-1) est un multiple de 5. Là en revanche je ne sais pas comment procéder.

[didou31]

Ouai le truc de l'exemple pour démontrer ça marche si c'est un contre exemple, mais un exemple seul ne démontre rien.


Ce qu'à fait Nightmare est la bonne méthode, enfin du moins celle ue je suis censé avoir apprise...

Tu n'as pas compris ma démarche. Bien entendu ! que le démonter pour n= 5 n'est pas suffisant. Mais le fait est qu'il existe une factorisation et elle est démontrable.
Mais qu'importe, si tu as résolu ton problème, c'est l'essentiel.

[el niala]

Démontrer que si n=2[5] eou si n=3[5] alors n²+1 est un multiple de 5

les congruences suivent les mêmes règles que les entiers

n=2[5] => n²=2²[5] => n²+1=2²+1[5] conclusion ?

je te laisse faire la même chose avec n=3[5]

et pour l'autre remarque que n^4-1=(n²+1)(n²-1)=(n²+1)(n-1)(n+1)

[Rockleader]

Tu n'as pas compris ma démarche. Bien entendu ! que le démonter pour n= 5 n'est pas suffisant. Mais le fait est qu'il existe une factorisation et elle est démontrable.
Mais qu'importe, si tu as résolu ton problème, c'est l'essentiel.

Désolé si je n'ai pas compris ta démarche, j'ai déjà du mal en spé, mais alors les congruences c'est la cerise sur le gateau, j'ai l'impression de connaitre mon cours et à chaque exo ou presque je bloque

En attendant j'ai un autre problème à résoudre Cf le message d'avant ^^

[Rockleader]

les congruences suivent les mêmes règles que les entiers

n=2[5] => n²=2²[5] => n²+1=2²+1[5] conclusion ?

je te laisse faire la même chose avec n=3[5]

et pour l'autre remarque que n^4-1=(n²+1)(n²-1)=(n²+1)(n-1)(n+1)

Ah ouai je m'étais planté n²+1=2²+1[5] ça fait donc 5, et j'ai simplifié en 1 au lieu de 0...Bref, on trouve la même chose avec n=3[5] donc les deux sont bien divisible par 5 puisque ils ont le même reste 0 dans la division par 5.



pour la seconde partie, ok j'ai compris l'astuce, suffisait de mettre n²+1 en facteur, ainsi on peut dire que c'ets divisible par 5 puisque n²+1 est divisible par 5. une fois que l'on voit l'astuce tout devient simple, mais en spé j'ai vraiment du mal à trouver "le truc" qui va te débloquer et te permettre d'avancer... Là tu m'as montré cette décomposition en facteur, et je trouve ça évident, et pourtant je ne l'aurais pas vu tout seul :hein:

[el niala]

attention pour la seconde, c'est (juste) un peu moins simple

certes n²+1 est un multiple de 5 lorsque n=2 ou 3[5], mais pour 0,1, et 4[5] tu dois jouer avec les facteurs n, (n-1) et (n+1)

[didou31]

Désolé pour l'exo d'avant. J'ai pas percuté que c'était congruence exclusivement.

Pour le second exo. J'ai appliqué la définition de la congruence. et ce qu'elle impliquait.

a = b [c] signifie que a-b = k x c (k, entier) et on arrive au résultat très facilement.
Par exemple ça donne :

n = 2 [5] => n - 2 = 5 k => n = 5k + 2 => n² = 25k²+ 10 k + 4 => n²+1 = 25k²+ 10 k + 5 => n²+1 est divisible par 5.

Mais bon, c'est parce que j'ai jamais appris les formules ou que je les ai oubliées.

[Rockleader]

attention pour la seconde, c'est (juste) un peu moins simple

certes n²+1 est un multiple de 5 lorsque n=2 ou 3[5], mais pour 0,1, et 4[5] tu dois jouer avec les facteurs n, (n-1) et (n+1)

Erf oui on me demande pour tout n....

Du coup je vois pas comment faire pour que n²+1 soit divisible par 5 pour tout n et par extentsion n(n^4-1). Je ne vois pas à quoi peuvent bien servir les deux autres facteurs que l'on a fait apparaitre. :hum:

[didou31]

Pour : n=3[5]

En appliquant les formules : n² = 9 [5] = 4 [5] = 5 - 1 [5] => n² + 1 = 5 [5] => cqfd

[Rockleader]

Pour : n=3[5]

En appliquant les formules : n² = 9 [5] = 4 [5] = 5 - 1 [5] => n² + 1 = 5 [5] => cqfd

J'ai déjà fait ça --' j'en suis à la seconde partie là

[el niala]

Erf oui on me demande pour tout n....

Du coup je vois pas comment faire pour que n²+1 soit divisible par 5 pour tout n et par extentsion n(n^4-1). Je ne vois pas à quoi peuvent bien servir les deux autres facteurs que l'on a fait apparaitre. :hum:

tu as oublié que c'était n(n^4-1) qui était divisible !

le facteur (n²+1) règle le cas n=2 ou 3[5]

n règle le cas n=0[5]

(n-1) règle le cas ...

(n+1) règle le cas...

et tu as peigné tous les cas non ?

[Rockleader]

(n-1) règle le cas ... -1 [5]

(n+1) règle le cas... 1[5]


ok, j'ai compris je crois.

on a le cas -1;0;1;2;3 en sachant que -1 ça revient à 4.



Ok, donc ce qu'il faut que je me rappele de cet exo, c'est que pour tout n ça signifie seulement les cas inféireur au modulo, puisqu'après ça se répète. Sa doit être vachement utile dans certaines démonstrations les congruences, dommage que je n'ai pas l'oeil....

[Rockleader]

Encore un dernier exo que je comprends pas trop --' Après j'arrête ssinon je vais faire une overdose de spé math =)




Justifier que est divisible par 11.

[Nightmare]

Quelles sont tes idées?

[Rockleader]

Quelles sont tes idées?

J'aurais déjà transformé 8 en 2^3 pour simplifier le tout et avoir 2^2006

Mais même ça je ne vois pas à quoi ça peut me mener...