Somme minimale :triste:

[monito]

bonjour tout le monde
j'ai un DM de maths dont une partie que je ne comprends absolument pas et qui ne figure même pas dans le cours!!:
en utilisant la droite des réels et la notion de distance, déterminer les réels x tels que:
a) la somme |x-5|+|x+3| est minimale
b) la somme |x-5|+|x+3|+|x-2| est minimale
svp aidez moi!! quand j'ai cherché ce que veut dire somme minimale j'ai trouvé que ça avait une relation avec des notions qu'on a pas encore faites! vous pouvez me donner une explication simple? merci d'avance

[Sve@r]

bonjour tout le monde
j'ai un DM de maths dont une partie que je ne comprends absolument pas et ki ne figure mém pa dan le cours!!:

Hum... si ça ne figure pas dans le cours, c'est que la notion est considérée comme acquise. Si on te demande d'additionner deux fractions, on va pas te réexpliquer le principe de l'addition des fractions. Là c'est pareil

en utilisant la droite des réels et la notion de distance, déterminer les réels x tels que:
a) la somme |x-5|+|x+3| est minimale
b) la somme |x-5|+|x+3|+|x-2| est minimale
svp aidez moi!! quand j'ai cherché ce que veut dire somme minimale jai trouvé que ça avai une relation avec des notions kon a pa encore faite! vous pouvez me donner une explication simple?merci d'avance

Alors autre chose, écrire un français correct est déjà faire preuve de respect envers ceux qui te liront. Ca ne coûte pas plus cher de mettre un "t" à "avait", un "s" à "pas" et d'écrire "qu'on" au lieu de "kon" et "qui" au lieu de "ki". T'as 102 touches sur ton clavier, tâche de les exploiter au mieux.

Sinon là, on te demande de trouver x pour avoir en a et en b les sommes les plus petites possibles. Mais comme a et b sont écrit avec des valeurs absolues, faut que tu distingues pour a
le cas où x-5 est négatif
le cas où x-5 est positif
le cas où x-2 est négatif
le cas où x-2 est positif
et idem pour b

[echevaux]

Sur un axe (droite graduée) où A a pour abscisse 7 et P a pour abscisse x,

que représente le nombre |x-7| ?

Applique ce résultat à ton énoncé.

[monito]

je suis en seconde et je suis sure de n'avoir jamais abordé le thème de somme minimale, c'est pour ça que je vous prie de bien vouloir m'expliquer cet exercice simplement. :girl2:
donc , si j'ai bien compris |x-7| qui représente la distance entre x et 7 ne signifie t-il pas que 7< x ?
voilà les résultats auxquels j'ai abouti pour la première somme |x-5|+|x+3|:
|x-5|= x-5 si 0|x-5|= -x+5 si x-5<0
|x+3| = x+3 si 0|x+3| = -x-3 si x+3<0
j'ai trouvé 4 sommes possibles:
x-5+x+3= 2x-2
x-5-x-3= -8
-x+5+x+3= 8
-x+5-x-3= -2x+2
que dois-je faire pour les comparer et savoir laquelle est la somme la plus petite?

[echevaux]

Tu commences bien puis tu te compliques la vie.
Si A a pour abscisse 7 et P a pour abscisse x alors |x-7|= PA
Si B a pour abscisse -5 et P a pour abscisse x alors |x-(-5)| = |x+5| = PB
....-5.................................7
---+------------------------+-----
....B..................................A
Où placer le point P sur la droite (AB) pour que PA+PB soit minimum ?
- à gauche de B ? Que vaut alors PA+PB ?
- entre B et A ? Que vaut alors PA+PB ?
- à droite de A ? Que vaut alors PA+PB ?
conclusion
et application à ton énoncé.
PS : laisse tomber les calculs !

[monito]

Alors voici les résultats que j’ai trouvé même si je sais que c’est faux :

---P1-----B(abcisse -3)-----P2-----0-----A(abcisse 5)-------P3----


Si P à gauche de B : PA+PB= |x-5| +|x+3 |
Si P entre A et B : PA+PB= |x-5| +|x+3|
Si P à droite de A : PA+PB= |x-5| +|x+3|

Donc tous les réels sont solution ? :triste:

[echevaux]

Laisse tomber les calculs et les valeurs absolues ; observe et réfléchis :

....-3.................................5
---+------------------------+-----
....A..................................B
Dans cette situation, tu es d'accord pour affirmer que AB = 8
On s'intéresse à PA+PB.
- Si P est à gauche de A alors PB = PA+AB donc PB = PA+8 et donc
PA+PB = PA+(PA+8) soit PA+PB = 2PA+8
- Si P est à droite de B alors ....
PA+PB = ... soit PA+PB=...
- Si P est entre A et B alors PA+PB = ... soit PA+PB = ...
La conclusion est alors évidente.

[monito]

donc, j'obtiens:
-si P est à gauche de A alors: PB=PA+AB donc PB=PA+8
soit PA+PB= PA+(PA+8)= 2PA+8
- si P est à droite de B alors: PA=PB+BA=PB+8
soit PA+PB=PB+(PB+8)= 2PB+8
- si P est entre A et B alors: PA+PB=AB
soit PA+PB=8
et comme une distance ne peut jamais être négative, 8 est la solution minimale.
c'est ça? :hein:

[echevaux]

Oui, ce qui correspond donc à P situé ...

et donc pour répondre à la question posée, (déterminer les réels x tels que la somme |x-5|+|x+3| est minimale) x appartient à ....

[monito]

x appartien à lintervalle -3 et 5 mais est-ce que -3 et 5 appartiennet à l'intervalle?

[monito]

MERCI BEAUCOUP de votre patience!! :we:
et pour "la somme |x-5|+|x+3|+|x-2| est minimale", est-ce que cela demande la même méthode? parce que quand je trace la droite:
-----C(abcisse -3)------0--------A(abcis 2)------------B(abcis 5)-------

je ne sais pas quelle distance je dois "mesurer":
si P à gauche de C: PB=PC+CA+AB ?
si P entre C et A : ?
si P entre A et B : ?
si P à droite de B : ?

[echevaux]

"la somme |x-5|+|x+3|+|x-2| est minimale" si

la somme |x-5|+|x+3| est minimale (et tu connais la réponse)
ET
|x-2| est minimale autrement dit la distance PC est minimale, C étant le point d'abscisse 2.
Alors, où situer P ?

[monito]

voulez vous dire le point C d'abcisse -3 (comme dans l'énoncé) ou le point A d'abcisse 2 ? La distance PC ou PA?

[monito]

je pense que c'est PA puisque c'est |x-2|.
si P à gauche de C: PA= PC+CA soit PA= PC+5
si P entre C et A : PA= x-2
si P entre A et B : PA= x-2
si P à droite de B : PA= PB+BA soit PA= PB+3

je ne sais pas comment situer P dans cette situation (la démarche est-elle fausse?)

[monito]

:triste: svp vous pouvez continuer à m'expliquer? c'est ma deuxième et dernière question! :cry:

[monito]

bon ben merci en tout cas!