Problème de distance minimale

[Mortelune]

Tu as bien dû remarquer que AM est une distance comme c'est dit dans l'énoncé, on a la distance entre A et M en fonction de l'abscisse de M qui est un point de la courbe.

Pour éviter de travailler avec une racine carrée on utilise AM², et comme AM est une distance elle est toujours positive sinon ça n'a pas de sens.

Ensuite tu as fait ça :

En utilisant le fait que AM est minimale si, et seulement si, AM² est minimale, déterminer les positions de M pour lesquelles AM² est minimale

Donc tu as trouvé les 2 points où la distance est minimale. Tu peux donc faire une application numérique avec une des valeurs trouvées pour en déduire AM ou en utilisant directement la forme canonique "lire" cette valeur minimale.

[tania51]

Tu peux donc faire une application numérique avec une des valeurs trouvées pour en déduire AM ou en utilisant directement la forme canonique "lire" cette valeur minimale.

faut il que je lise le sommet alpha et beta ? mais dans ce cas cela donne (1/sqrt 2 ; 3/4) avec AM= 0.87........

[Mortelune]

Il faut que tu arrives à te visualiser le problème. Comme tu l'as formalisé sous un logiciel ça ne devrait pas te poser trop de problème. Tu as une fonction f telle que pour tout x réel f(x) te donne une valeur positive (qui correspond à AM² pour un point M d'abscisse x). Tu as trouvé les x tels que f est minimale, comment tu fais pour trouver les valeurs minimales de f ?

[tania51]

bonsoir,

doit on poser ( x² - 1/2 )² +3/4 = 1/sqrt 2 et ( x² - 1/2 )² +3/4 = - 1/sqrt 2 ?

OU

si j'arrive à te comprendre alors tu veux que je cherche f (x) à partir de x donc 3/4....

le souci c'est qu'avec mon logitiel je ne peut que bouger le point M sur la courbe x² , je ne voit donc pas très bien le problème..

merci.

[Mortelune]

Que signifient les 2 équations que tu proposes ?

Et que signifie l'autre alternative ?

(Tu peux aussi tracer AM² sur un logiciel ou une calculatrice pour voir les minimas)

[tania51]

bonjour,

en traçant la courbe x² et f(x) à l'écran de la calculatrice je peut voir les points d'intersection qui sont (-1;1) et (1;1) par contre je ne voit toujours pas comment calculer la distance AM² (car je ne pense pas que l'on peut utiliser la distance valeur absolue |A - B| OU |B - A| bref nous ne sommes pas sur une droite graduée..)

explique moi plus en détaille comment tu fais pour trouver les valeurs minimales de f ?

s'il te plait merci..

[Mortelune]

Peut être que tu n'as pas compris qu'AM² était la distance euclidienne entre A et M au carré ?
Pour et (puisque m est sur la courbe P).
On a d'où

Et j'ai envie de te demander, quand tu cherches un minimum tu cherches quoi ?

[tania51]

Quand on me demande un minimum je cherche dans ce cas alpha et beta non..?

bref comment à tu trouver cela quand tu passes de d(A,M) à la fonction x^4-x^2+1 car je te rapelle que nous n'avons pas vu les vecteurs. Pour le moment j'ai compris que A ( 0;1) et que M ( x ; x² )...

merci.

[Mortelune]

C'est quoi l'histoire des alpha et beta ?

Eh bien c'est la définition de la distance euclidienne (après c'est très possible que tu ne l'aies pas vue donc c'est pour ta culture -en gros c'est le théorème de Pythagore appliqué dans un triangle bien choisi), c'est sans doute pour ça qu'elle était donnée alors :
et alors

[tania51]

ok je viens de comprendre, donc les minimas doit être trouvés d'après ce théorême, est ce possible qu'il y ai les deux mêmes minimas ? Peut on envisager alors de lire tout simplement le alpha et beta de ma fonction ?

Alors comment les trouvent t'on en faisant un calcule comme on me le demande ?

MERCI

[Mortelune]

C'est quoi les alpha et beta dont tu parles ? Je n'ai jamais vu ça donc je suis curieux, et en plus ça me permettrai de comprendre ce que tu dis.

Mais il n'y a pas de théorème, Pythagore c'est pour obtenir la distance euclidienne entre 2 points, pas pour obtenir la distance (minimale) entre un point et une courbe.

[tania51]

les alpha et beta correspond au sommet d'une fonction polynôme de second degré avec a coeficiant directeur : a ( x - alpha )² + beta . soit pour sommet de coordonné ( alpha; beta ) donc le minimum de la fonction.

dans ce cas le problème est différent car c'est a ( x² - alpha )² + beta donc à mon avis sa ne correspond pas du tout.

c'est pour cela que je te parler de ça. donc à la réponse calculer cette distance minimale tu ma donner la distance euclidienne donc si je remplace les coordonnés des x trouvés auparavant je trouve comme distance :

sqrt de 2 c'est cela ? en replaçant x1,x2 et y1,y2...
il y a donc une seul réponse.

merci

[Mortelune]

Donc dans ce cas le minimum de la fonction se trouve en x=alpha et vaut beta.

Le cas que nous avons à présent est-il si différent ?

Et distance=distance euclidienne dans l'exercice.

Par contre "graphiquement" que représente un minimum de fonction ? Tu te raccroche à des formules toutes faites on dirait, ce serait bien d'en avoir une perception un peu plus géométrique je pense :)

[tania51]

bonsoir,

notre cas est bien différent parceque nous n'avons 1 sommet mais deux sommets il est donc normale que la fonction général avec les lettres ne correspond pas du tout à cet exercice car la fonction est bicarrée.
bref si tu veut plus d'information sur alpha et beta va sur :
http://www.ilemaths.net/maths_1_fonction_polynome_cours.php

sur graphique on voit clairement que la fonction posséde deux minimas ( deux sommets ) que l'on a trouvé avec les x...

penses tu que mes résultats sont correctes pour le message de 17h17 car j'ai remplacé par les coordonnés des sommets.

merci

[Mortelune]

Quand je te demandai si le cas était si différent c'était pour que tu me répondes non :lol3:

Le minimum d'une fonction sur un intervalle c'est sa valeur la plus basse. Cette valeur est unique parce que sinon ce ne serait pas "le" minimum mais en revanche il n'y a aucune raison qu'elle ne soit pas atteinte en plusieurs valeur de x, par exemple la fonction constante y=3 a pour minimum 3 et ce minimum est atteint partout.

Sou la forme canonique avec et dans le cas du second degré on trouve bien que le minimum est comme le terme de gauche atteint son minimum quand il prend la valeur 0. Vu comme ça, y a-t-il vraiment une différence de raisonnement ?
(Ici on peut poser et on revient à la forme que tu connais)

Sinon ton message de 16h17 a l'air pas mal, mais avec seulement une ébauche de raisonnement je ne peux pas te le certifier.

[tania51]

tu connaissais donc très bien la fonction polynôme du second degré ( tu m'as bien eu la deçu ).

pour la réponse de 17 h 17 et non pas 16h17, je présenterai de cette façon si ma réponse est bonne : j'ai réutilisé ton raisonnement et ton calcul..

soit A ( 0;1 ) et M ( x;x² ). AM = d (AM) sqrt de {(x)² + (x² - 1 )² } d'ou AM² = x² + (x²-1)² = x^4 - x² +1.

alors la distance AM = sqrt de { (x1 - x2 )² + ( y1 - y2 )² }
= sqrt de { (-1/sqrt 2 - 1/sqrt 2 )² + ( 3/4 - 3/4 )² }

la distance minimale AM est donc : sqrt 2.

en espérant que cette réponse sera la bonne, merci.

[Mortelune]

C'est l'expression alpha et beta que je connaissais pas, pas la réponse de ton exercice ^^

(et on doit pas être sur le même fuseau horaire alors pour les messages)

Par contre non, déjà c'est environ 1.4 donc on voit bien que ce n'est pas la bonne réponse et je ne vois pas du tout ce qui te pousse à prendre de telles valeurs pour x et y alors que ce n'est qu'une fonction de x.

Tu a l'air de chercher à appliquer des recettes que tu ne comprends pas et si tu ne me dis pas ce que tu ne comprends pas je vais avoir du mal à t'aider en progressant à tâtons.

[tania51]

en fait je ne vois pas comment calculer cette distance minimale pourtant tu me donnes des pistes mes ce n'est jamais bon alors explique moi de façon générale avec un exemple précis s'il te plait.

merci.

[Mortelune]

La conclusion sera une distance minimale. Mais l'essentiel c'est de trouver le minimum d'une fonction.

Une des plus simple sera sans doute. Quel est son minimum ?

La fonction est toujours positive et f(0)=0 donc son minimum est 0.

Si on a alors g est toujours plus grande que b et atteint b pour x=a, donc b est son minimum.

Maintenant si ?

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Ensuite il y a une autre façon de voir la dernière question, j'ai déjà dû le dire aussi mais bon :
On a une fonction h, celle donnée au dessus. On sait que h est minimale en p et q d'après le début de la question, alors le minimum de h est h(q)=h(p) (puisque le minimum est atteint 2 fois).

Et ce minimum c'est la distance minimale au carré parce que la fonction h est une fonction qui donne la distance AM au carré.

[tania51]

boujour,

que veut tu dire pour p et q , merci.