Somme des termes d'une suite quelconque

[Atienon]

Bonsoir à tous,

Je suis en train de faire mon brouillon pour un DM et je reste bloqué sur la dernière question:

Pour tout entier naturel n, on pose: .
Démontrer par récurrence que pour tout n de N:


Grâce à l'énoncé, on sait que . Je ne comprends pas comment je peux démonter par récurrence que cette somme est égale à ce qui a été annoncé plus haut.

Merci d'avance pour votre aide!

[capitaine nuggets]

Salut !

Commence par faire l'initialisation.
Ensuite, suppose l'égalité vraie pour le rang n, montre qu'alors l'égalité qu'on doit avoir pour le n+1 est encore vrai (et ce, en utilisant l'égalité du rang n).

:we:

[Atienon]

Merci de ta réponse rapide, j'avais déjà commencé le raisonnement par récurrence, mais je bloque pour l'hérédité parce que je ne vois vraiment pas ce qu'il faut faire.

Initialisation:

On veut montrer que la propriété est vraie au rang n=0.


La propriété est donc vraie au rang n=0.
On suppose que la propriété reste vraie pour un entier quelconque k. C'est à dire .
On veut démontrer que la propriété reste vraie au rang k+1. C'est-à-dire
Et c'est à partir de ce moment-là que je bloque car je ne vois pas le rapport avec l'égalité :/

[siger]

bonsoir


calcule S ( n+1) = Sn + u( n+1)
tu devrais trouver (sauf erreur!)
S(n+1)= 2- (2n +5)/2^(n+1)
ce qui verifie la formule!

[Atienon]

bonsoir


calcule S ( n+1) = Sn + u( n+1)
tu devrais trouver (sauf erreur!)
S(n+1)= 2- (2n +5)/2^(n+1)
ce qui verifie la formule!

Merci de ta réponse, mais je pense avoir un problème parce que quand je développe, je trouve:

[danyL]

Merci de ta réponse, mais je pense avoir un problème parce que quand je développe, je trouve:

bonsoir
le premier quotient a pour dénominateur 2^n et pas 2^(n+1)
(2n+3) ne devient pas (2n+5)

[Atienon]

Comment obtenir le dénominateur commun alors? Je pensais que je pouvais passer à (n+1) pour l'autre quotient

[danyL]

Comment obtenir le dénominateur commun alors? Je pensais que je pouvais passer à (n+1) pour l'autre quotient

2^(n+1) = 2^n * 2
ou 2^n = 2^(n+1) / 2

1/2^n = 2 / 2^(n+1)

[Atienon]

Donc: ?

[danyL]

il te reste une erreur de signe, tu n'as pas bien pris en compte le signe - du premier quotient

une fois cela corrigé tu vas retomber sur l'expression de Sn+1 donnée par siger

[Atienon]

J'avais pas fait attention au moins, je me suis focalisé sur les deux quotients -_-
On a donc
Ce qui permet de justifier l'hérédité du raisonnement par récurrence, merci beaucoup !