Démonstration de la formule : somme des termes d'une suite géométrique

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Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

démonstration de la formule : somme des termes d'une suite géométrique

par Yuna29 » 08 Sep 2008, 22:41

Bonsoir

La question est dans le titre , j'aimerais démontrer cette formule :Sn = (n+1)(1-qn/1-q)
avec qn = q exposant n

j'ai commencé comme ça :

Sn = U0*u1*u2*...*un
Sn = Un * un-1 * un-2 *...* u0
et après je bloque..
En vous remerciant. Yuna



oscar
Membre Légendaire
Messages: 10024
Enregistré le: 17 Fév 2007, 22:58

par oscar » 08 Sep 2008, 23:56

bonsoir

S(n) = u1+u2+u3+.....u(n-1) + u n
.......=u1+u1q+u1q²+..........u1q^(n-1)
.......= u1 ( 1 + q +q²+.......q^(n-1)

D' autre part ,
Sn= u1+u2+u3+......u!n-1) +u n ( 1 )
En multiplant les deux membres par q
Sn*q= u1q+u2q +.u3q +....u(n-1) q + unq
.......=u2+u3+u4+..........+ u n + u(n+1) ( 2)

Ainsi Sn - Snq=u1 - u (n+1) en soustrayant (2) de (1)
Soit...Sn( 1- q) = u1 - u1q ^n ( car u(n+1) = u1 q)
......................= u1( 1- q^n)

Finalement , puisque q#1: Sn = u1 * ( 1 - q n) /( 1 - q)

 

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